Функции на устном туре Турнира Городов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На доске написана функция 
Разрешается написать на доске производную любой написанной ранее функции, а также сумму и
произведение любых двух написанных ранее функций, так можно делать много раз. В какой-то момент на доске оказалась функция, равная
для всех действительных 
некоторой константе 
Чему может равняться 
Источники:
Любая функция, полученная описанным способом, — многочлен от 
и 
с целыми коэффициентами. Доказательство индукцией по
числу шагов: исходная функция имеет такой вид; производная многочлена с целыми коэффициентами — многочлен с целыми
коэффициентами; аналогичное верно для суммы и произведения. При 
синус и косинус принимают целые значения, поэтому значение
многочлена от них с целыми коэффициентами — целое, то есть 
целое.
Положим
Запишем на доску
Тогда
Аналогично
Суммируя такие функции, получаем все чётные константы.
Покажем, что нечётную константу получить нельзя. Заметим, что
Поэтому все функции, которые можно получить, — это многочлены от 
и 
с целыми коэффициентами и
нулевым свободным членом. При 
остаются лишь члены с косинусом (равным 1). Коэффициенты при чётных степенях косинуса
чётны, а при нечётных либо иррациональны, либо равны нулю. Целочисленное значение получится, если сумма коэффициентов при
нечётных степенях равна 0, но тогда значение чётно, что и требовалось доказать.
Любому чётному числу.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Каждая из функций 
и 
определена на всей числовой прямой и не является строго монотонной. Может ли быть, что и их сумма, и
их разность строго монотонны на всей числовой прямой?
Источники:
Положим
Тогда
Пусть 
и 
строго возрастают (соответственно, строго убывают). Тогда 
как их полусумма строго возрастает (соответственно,
строго убывает), что противоречит условию.
Если же какая-то из функций 
и 
строго возрастает, а другая строго убывает, то обе функции 
и 
строго возрастают или
строго убывают. Следовательно, их полусумма 
строго монотонна — снова противоречие с условием.
