Функции на устном туре Турнира Городов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Каждая из функций 
и 
определена на всей числовой прямой и не является строго монотонной. Может ли быть, что и их сумма, и
их разность строго монотонны на всей числовой прямой?
Источники:
Подсказка 1
Запишем сумму и разность f(x) и g(x). Как сами f(x) и g(x) выражаются через них? Помните, что сумма и разность – строго монотонные функции.
Подсказка 2
Положим F(x) = f(x) + g(x), G(x) = f(x) – g(x). Заметим, что f(x) = (F(x) + G(x))/2, g(x) = (F(x) – G(x))/2. Теперь попробуем искать противоречие. Нам говорят, что и сумма, и разность – монотонны. Предположим, что они ведут себя одинаково (либо обе возрастают, либо обе убывают). Что тогда?
Подсказка 3
Если F(x) и G(x) ведут себя одинаково, то f(x) будет либо монотонно возрастать, либо монотонно убывать! Такс, а если одна из функций (F(x) или G(x)) возрастающая, а вторая убывающая?
Подсказка 4
В таком случае посмотрим на g(x) и заменим F(x) на –F(x) или G(x) на –G(x)! Мы получим ситуацию, аналогичную с f(x).
Положим
Тогда
Пусть 
и 
строго возрастают (соответственно, строго убывают). Тогда 
как их полусумма строго возрастает (соответственно,
строго убывает), что противоречит условию.
Если же какая-то из функций 
и 
строго возрастает, а другая строго убывает, то обе функции 
и 
строго возрастают или
строго убывают. Следовательно, их полусумма 
строго монотонна — снова противоречие с условием.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
