Функции на устном туре Турнира Городов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На доске написана функция 
Разрешается написать на доске производную любой написанной ранее функции, а также сумму и
произведение любых двух написанных ранее функций, так можно делать много раз. В какой-то момент на доске оказалась функция, равная
для всех действительных 
некоторой константе 
Чему может равняться 
Источники:
Подсказка 1
Для начала давайте попробуем взять несколько производных, перемножить что-нибудь — в общем, сделать несколько итераций. Видно, что все, что окажется на доске - многочлены от sin(x) и cos(x). Это можно и нужно доказать, но давайте сначала идейно. Если мы уже пощупали как себя ведут выражения, то может нам теперь попытаться что-то явно получить? Какую-то константу, к примеру.
Подсказка 2
Заметим, что эту константу только синусом или только косинусом не получить. Давайте возьмем f(x) = cos(x) + sin(x) и посмотрим на производные. Заметим, что f(x) * f(x) + f’(x) * f’(x) = 2. То есть все целые, четные значения, больше 0, мы можем получить. А что с целыми, четными и меньшими 0?
Подсказка 3
Верно, их тоже можно получить, к примеру, как сумму f(x) * f’’(x) + f’(x) * f’’’(x) = -2. Но ведь это всего лишь целые, и то не все. Попробовав так по складывать, да по умножать, можно понять эмпирически, что нечетные целые не получить, а уж что делать с не целыми и ума не приложить. В таких моментах не стоит ничего говорить, а только попытаться доказать, что это невозможно. Как? А мы использовали где-то наши рассуждения про многочлен? Может быть самое время?
Подсказка 4
Мы же можем посмотреть на значение в нуле. Ведь, тогда и sin(x), и cos(x) - целые числа. Значит, и многочлен от них - целое число в этой точке, а значит, если он тождественно константа, то эта константа - целая. Тогда, остается доказать про нечетные целые числа, что их нельзя получить. Давайте сделаем такой трюк. Если у нас все выражается через sin и cos, то это значит, что все выражается через sin(x) + cos(x) и sin(x) - cos(x). Но эти числа равны sqrt(2) * cos(x - pi/4) и sqrt(2) * sin(x - pi/4). Появилась иррациональность. А у нас только целые числа могут быть. Что из этого можно выгадать?
Подсказка 5
А в общем-то, все, что нам и нужно. Ведь если подставить pi/4, то получим, что при нечетных степенях, у cos будет либо иррациональный коэффициент, либо нулевой. А это значит, что сумма коэффициентов перед нечетными степенями равна 0), но ровно это и означает, что значение четно. Победа.
Любая функция, полученная описанным способом, — многочлен от 
и 
с целыми коэффициентами. Доказательство индукцией по
числу шагов: исходная функция имеет такой вид; производная многочлена с целыми коэффициентами — многочлен с целыми
коэффициентами; аналогичное верно для суммы и произведения. При 
синус и косинус принимают целые значения, поэтому значение
многочлена от них с целыми коэффициентами — целое, то есть 
целое.
Положим
Запишем на доску
Тогда
Аналогично
Суммируя такие функции, получаем все чётные константы.
Покажем, что нечётную константу получить нельзя. Заметим, что
Поэтому все функции, которые можно получить, — это многочлены от 
и 
с целыми коэффициентами и
нулевым свободным членом. При 
остаются лишь члены с косинусом (равным 1). Коэффициенты при чётных степенях косинуса
чётны, а при нечётных либо иррациональны, либо равны нулю. Целочисленное значение получится, если сумма коэффициентов при
нечётных степенях равна 0, но тогда значение чётно, что и требовалось доказать.
Любому чётному числу.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Каждая из функций 
и 
определена на всей числовой прямой и не является строго монотонной. Может ли быть, что и их сумма, и
их разность строго монотонны на всей числовой прямой?
Источники:
Подсказка 1
Запишем сумму и разность f(x) и g(x). Как сами f(x) и g(x) выражаются через них? Помните, что сумма и разность – строго монотонные функции.
Подсказка 2
Положим F(x) = f(x) + g(x), G(x) = f(x) – g(x). Заметим, что f(x) = (F(x) + G(x))/2, g(x) = (F(x) – G(x))/2. Теперь попробуем искать противоречие. Нам говорят, что и сумма, и разность – монотонны. Предположим, что они ведут себя одинаково (либо обе возрастают, либо обе убывают). Что тогда?
Подсказка 3
Если F(x) и G(x) ведут себя одинаково, то f(x) будет либо монотонно возрастать, либо монотонно убывать! Такс, а если одна из функций (F(x) или G(x)) возрастающая, а вторая убывающая?
Подсказка 4
В таком случае посмотрим на g(x) и заменим F(x) на –F(x) или G(x) на –G(x)! Мы получим ситуацию, аналогичную с f(x).
Положим
Тогда
Пусть 
и 
строго возрастают (соответственно, строго убывают). Тогда 
как их полусумма строго возрастает (соответственно,
строго убывает), что противоречит условию.
Если же какая-то из функций 
и 
строго возрастает, а другая строго убывает, то обе функции 
и 
строго возрастают или
строго убывают. Следовательно, их полусумма 
строго монотонна — снова противоречие с условием.
