Тема Росатом

Последовательности и прогрессии на Росатоме

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела росатом

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#126307

На бильярдном столе из одинаковых 153 шаров выложен правильный треугольник. Расположение шаров плотное: ни один дополнительный шар не может быть помещен в треугольник и любая пара соседних шаров в треугольнике касаются друг друга. Сколько шаров составляют сторону треугольника?

Источники: Росатом - 2025, 10.3 ( см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть основание треугольника составляют n шаров. Сколько шаров их тогда касается?

Подсказка 2

Их будет касаться n-1 шар, сверху будет n-2 шара и так далее.

Подсказка 3

Получили арифметическую прогрессию. Найдите её сумму и выразите n.

Показать ответ и решение

Если основание треугольника составляют $n$ шаров, то их касается $n − 1$ шар, которых в свою очередь сверху касается $n − 2$ шара и т.д. до вершины треугольника, где расположен единственный шар. Количества шаров в каждом ряду образуют арифметическую прогрессию, и суммарное количество шаров в треугольнике

n(n+ 1) 1+2 +⋅⋅⋅+ n =---2---= 153

Получаем квадратное уравнение:

n2 +n − 306= 0

Оно имеет два корня:

n= 17 или n =− 18

Так как количество шаров $n$ натуральное число, то $n= 17.$

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#76644

Члены последовательности $a n$ удовлетворяют соотношению:

-2-- an+2 = an− an+1 ,a1 = 8,a2 =19

Найти $n,$ для которого $an = 0.$

Источники: Росатом-2022, московский вариант, 11.3 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Рассмотрим момент, когда появился нулевой член последовательности. Что случается с произведением соседних членов, когда появляется ноль?

Подсказка 2

Рассмотрите последовательность произведений соседних членов. Какому соотношению она удовлетворяет? Как найти ноль?

Подсказка 3

Домножьте равенство, данное в условии, на знаменатель. Какой вид имеет общий член новой последовательности? Найдите ноль)

Показать ответ и решение

По условию $a,a ⁄= 0. 1 2$ Элементы последовательности определены пока $a ⁄= 0. n+1$ Для остальных номеров члены последовательности не определены.

Пусть $an+1 ⁄=0,an+2 = 0.$ Тогда для всех $k ≤n ⇒ ak+1ak− 2.$ Последовательность $bk = ak+1ak$ удовлетворяет соотношению $bk+1 = bk − 2$ и представляет собой арифметическую прогрессию с разностью $d= −2$ и первым членом $b1 =a2a1 = 8⋅19=152.$ Общей её член $bk = b1− 2(k− 1)$ равен нулю, если

2(k − 1)= 152 ⇒ k= 77⇒ b77 =a77⋅a78 =0 ⇒ a78 = 0

Ответ:

$78$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#126017

Арифметическая прогрессия ${a } n$ с ненулевой разностью такова, что последовательность $b = a ⋅sina n n n$ также арифметическая прогрессия с ненулевой разностью. Найти возможные значения первого члена и разности прогрессии ${an},$ если для всех $n$ справедливо равенство $2 2cosan =cosan+1.$

Источники: Росатом - 2020, 11.5 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие выводы можно сделать из уравнения 2cos²(aₙ) = cos(a_{n+1}). Попробуйте выразить cos(aₙ).

Подсказка 2

При всех n cos(a_{n+1}) ≥ 0 и |cos(aₙ)| = √( cos(a_{n+1}) / 2 ) ≤ 1 / √2. Что тогда можно сказать об aₙ?

Подсказка 3

Все значения aₙ попадают на участок [π/4;π/2]. Попробуйте подумать о разности арифметической прогрессии - d.

Подсказка 4

Что, если d будет больше ближайшего к aₙ числа, кратного 2π?

Подсказка 5

Тогда некоторый член последовательности выйдет за пределы [π/4;π/2]. Проведите аналогичные рассуждения в меньшую сторону.

Подсказка 6

Получим, что d кратно 2π, или d = 2πk, k ∈ ℤ. Как мы можем это использовать?

Подсказка 7

Выразите cos(aₙ) при помощи a₁ и d.

Подсказка 8

Получится, что cos(aₙ) = cos(a₁). Подставьте это в уравнение из условия.

Подсказка 9

Мы получим несколько решений относительно a₁, выразите через них aₙ и bₙ.

Показать ответ и решение

Из уравнения

2 2cos(an)= cos(an+1)

следует, что при всех $n$

cos(an+1)≥ 0

-------- ∘ cos(an+1)- -1- |cos(an)|= 2 ≤ √2-

На тригонометрическом круге все значения $an$ попадают на участок $[π π] 4;2 .$

$PIC$

${an}$ является арифметической прогрессией, докажем, что ее разность $d$ должна быть кратна длине окружности $2π.$

Если бы величина $d$ была больше ближайшего к $an$ числа, кратного $2π,$ то один из следующих членов последовательности, располагаясь на единичной окружности против часовой стрелки от $an$ и смещаясь от него на постоянное значение вдоль дуги, выйдет за участок $[ ] π4;π2 .$

Аналогично, если величина $d$ меньше ближайшего к $an$ числа, кратного $2π,$ то один из следующих членов прогрессии, располагаясь по часовой стрелке от $an$ и смещаясь от него на постоянное значение вдоль дуги, выйдет за участок $[π4;π2].$