Инверсия + симметрия
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике 
проведена биссектриса 
(точка 
лежит на отрезке 
). Прямая 
пересекает окружность 
описанную около треугольника 
в точках 
и 
Окружность 
построенная на отрезке 
как на диаметре, пересекает
окружность 
в точках 
и 
Докажите, что прямая, симметричная прямой 
относительно прямой 
содержит медиану
треугольника 
Источники:
Подсказка 1
Так, нужно подумать… То есть у нас есть биссектриса и середина стороны в задаче, а также есть описанная окружность. На какой факт нам это намекает?
Подсказка 2
Верно, на тот факт, что биссектриса и серпер пересекаются на описанной окружности треугольника. Тогда пусть они пересеклись в точке Е. Что интересного можно заметить если продлить отрезок EM до пересечения с описанной окружностью(пусть точка пересечения - точка Х)?
Подсказка 3
Конечно, можно заметить, что F,D,X - лежат на 1 прямой. Почему это так? Ну понятно почему, XFE - прямой, так как опирается на диаметр окружности (ABC), и DFE - прямой, так как опирается на диаметр окружности, построенной на DE как на диаметре. Хмм… А что теперь нам это дает? Какие равные углы теперь можно отметить?
Подсказка 4
Действительно, мы можем заметить равенство углов FBE и FXE, в силу того, что они опираются на одну хорду FE. Значит, нам надо доказать, что углы FXE и MBE равны! А как это можно удобно переформулировать?
Подсказка 5
Это можно переформулировать как доказательство вписанности BDMX. Осталось понять почему сумма углов EBX и XMA равна 180 градусов, и задача будет решена!
Первое решение. Пусть 
— медиана треугольника. Так как биссектриса 
и серединный перпендикуляр к 
проходят через
одну и ту же точку (середину дуги 
), то 
Пусть 
пересекается с окружностью в точке 
Из сказанного выше следует,
что 
— диаметр окружности 
.png)
Надо доказать, что 
и 
симметричны относительно биссектрисы, то есть
При этом 
как опирающиеся на одну дугу вписанные углы.
По условию 
прямой, а ещё опирающийся на диаметр вписанный угол 
тоже прямой. Поэтому точки 
коллинеарны. Тогда 
Остаётся доказать равенство
Это равенство следует из того, четырёхугольник 
можно вписать в окружность. Действительно, 
при этом
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
Сделаем симметрию относительно биссектрисы угла 
и инверсию с таким радиусом, чтобы 
и 
где звездочкой
обозначаем образ точки под действием композиции преобразований. Заметим что 
и 
так как прямая 
переходит в
дугу 
и наоборот, а прямая 
переходит сама в себя. Окружность, построенная на 
тем самым переходит в окружность,
центр которой все лежит на 
а точки ее пересечения с 
это 
и 
То есть, эта окружность переходит в себя. Точка 
переходит в точку 
вторую точку пересечения окружности и прямой 
Известно, что 
– середина дуги 
а 
так
как 
– диаметр окружности. Получаем, что 
высота в равнобедренном треугольника 
значит 
– середина 
Получается, что 
содержит медиану треугольника 
причем 
симметрична 
относительно биссектрисы угла
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
