Инверсия + симметрия
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В окружность 
вписан остроугольный треугольник 
в котором 
Пусть 
и 
– середины меньшей и большей дуги
окружности 
соответственно. Пусть 
– основание перпендикуляра, опущенного из точки 
на отрезок 
Докажите, что
окружность, описанная около треугольника 
делит отрезок 
пополам.
Источники:
Сделаем симметрию относительно биссектрисы угла 
и инверсию с таким радиусом, чтобы 
и 
где штрихом обозначаем
образ точки под действием композиции преобразований. Точка 
является точкой пересечения внешней биссектрисы угла 
и описанной
окружности 
значит точка 
переходит в точку пересечения внешней биссектрисы и прямой 
Точка 
переходит в
основание биссектрисы угла 
Точка 
переходит в точку на биссектрисе, которая находится в два раза дальше от 
чем 
Из
подобия треугольников 
и 
и образ 
можно определить как точку пересечения перпендикуляра к 
в точке 
и 
Требовалось доказать, что 
лежат на одной окружности. После инверсии и симметрии остается доказать, что 
лежат
на одной прямой. Заметим, что 
Достаточно показать, что 
Тогда треугольники 
и 
подобны, и
значит прямые 
и 
совпадают. Но ясно что
Внутренняя и внешняя биссектрисы делят противоположную сторону в соотношении равном отношению прилежащих сторон. Значит
Это эквивалентно тому, что мы хотели доказать: 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
