Инверсия + симметрия
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Общие внешние касательные 
и 
к окружностям 
и 
пересекаются в точке 
Окружность 
проходит через точку 
касается окружностей 
и 
и повторно пересекает прямые 
и 
в точках 
и 
Касательные из точек 
и 
к 
отличные от 
и 
пересекаются в точке 
Касательные из точек 
и 
к 
отличные от 
и 
пересекаются в точке 
Докажите, что 
Подсказка 1
Требуется доказать, что 2 направления изогональны в угле. Очень часто придумать синтетическое доказательство подобных фактов тяжело, поэтому попробуйте доказать, что sin∠AKD/sin∠AKB=sin∠CKB/sin∠CKD.
Подсказка 2
sin∠AKD/sin∠AKB=sin∠CKB/sin∠CKD = XD/XB*KB/KD, где X- точка пересечения диагоналей. На картинке есть полувписанная и полувневписанная окружности. Какие полезные точки можно на них отметить?
Подсказка 3
Нужно отметить точки касания описанной окружности BKD с s1 и s2, также стоит отметить точки касания окружностей со сторонами. Найдите на рисунке биссектрисы и запишите отношения. Как перекинуть отношения на сторону BD?
Подсказка 4
Рассмотрите композицию инверсии+симметрии в точке К. Тогда полувписанная окружность перейдут во вневписанную, также образуются подобия. Найдите их и покажите, что sin∠AKD/sin∠AKB = BT/TB, где Т - точка касания вневписанной окружности.
Первое решение. Не умаляя общности будем считать, что 
лежит внутри 
а 
— снаружи. Окружности 
и 
известны как полувписанная и полувневписанная окружности треугольника 
Пусть 
и 
— их центры, и пусть
касается 
и 
в точках 
и 
а 
— в точках 
и 
соответственно. Как известно, середина
— это центр 
вписанной окружности треугольника 
а середина 
— центр 
его вневписанной
окружности (касающейся отрезка 
Пусть 
и 
— радиусы этих окружностей; из гомотетии в точке 
получаем, что
.png)
Пусть 
и 
пересекают 
в точках 
и 
соответственно. Пусть 
Тогда треугольники 
и
подобны (их соответственные стороны параллельны), и коэффициент их подобия равен отношению высот из точек 
и 
, то есть
Отсюда 
Значит, прямоугольные треугольники 
и 
также подобны, поэтому
.png)
Пусть 
и 
касаются 
в точках 
и 
соответственно. По теореме Ньютона, прямые 
и 
пересекаются в
одной точке, то есть 
проходит через 
Поскольку прямые 
и 
— поляры точек 
и 
относительно 
точка
— полюс прямой 
относительно 
откуда 
Аналогично получаем, что 
Теперь из доказанного выше
вытекает, что 
что равносильно требуемому.
.png)
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение. Как известно, направление луча из вершины угла однозначно задаётся отношением синусов углов, образованных им
со сторонами угла. Поэтому для решения задачи достаточно доказать, что 
Пусть 
и
пересекаются в точке 
Заметим, что
Пусть 
касается прямых 
и 
в точках 
и 
соответственно. Как известно, в описанном четырехугольнике 
выполнено равенство 
Пусть полувписанная окружность 
касается 
в точке 
Еще один известный факт:
— биссектриса угла 
а 
— биссектриса угла 
Отсюда получаем
и, следовательно,
Так как при композиции инверсии с центром в точке 
и симметрии относительно биссектрисы угла 
меняющей местами точки
и 
окружность 
переходит во вневписанную окружность 
треугольника 
то точка 
переходит при таком
преобразовании в точку касания 
с отрезком 
Обозначим эту точку через 
Из вышесказанного следует, что треугольники 
и 
а также треугольники 
и 
подобны. Тогда
Рассуждая аналогично, получаем, что
где 
— точка касания вписанной окружности треугольника 
с отрезком 
Осталось заметить, что точки 
и 
симметричны относительно середины 
откуда 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
