Тема 15. Решение неравенств

15.08 Модульные неравенства

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение неравенств

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#77230

Решите неравенство

x3− 27 |x-−-3| − x|x − 3|≥ 0

Источники: ЕГЭ 2024, СтатГрад, 13 декабря 2023

Показать ответ и решение

x3− 27 |x-−-3| − x|x − 3|≥ 0

Выпишем ОДЗ: $x ⁄= 3.$ Тогда на ОДЗ имеем

(x− 3)(x2+ 3x+ 9) ------|x-−-3|-----− x|x − 3|≥ 0

Заметим, что для $a⁄= 0$ выполняется $a-= |a|, |a| a$ так как $a2 = |a|2.$ Тогда $(x − 3) |x − 3| -|x-− 3| = (x-−-3).$ Таким образом,

|x− 3|(x2+ 3x+ 9) -----(x-−-3)-----− x|x − 3|≥ 0 ( x2+-3x-+-9 x2−-3x) |x − 3| x− 3 − x− 3 ≥ 0 ( ) |x − 3| x2+-3x+-9−-x2+-3x ≥0 x − 3 ( ) |x − 3| 6x+-9 ≥ 0 x − 3

По ОДЗ $x ⁄= 3.$ Тогда поделим на $|x − 3|> 0 :$

3 ⋅(2x+ 3) ---x−-3-- ≥0

Решим это неравенство методом интервалов:

$x−3+−+ 3 2$

Получили ответ:

( ] x ∈ −∞;− 3 ∪ (3;+ ∞ ) 2

Ответ:

$( ] −∞; − 3 ∪(3;+∞ ) 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#77231

Решите неравенство

8− x3 |2-−-x| +x|2− x|≥ 0

Источники: ЕГЭ 2024, СтатГрад, 13 декабря 2023

Показать ответ и решение

8− x3 |2-−-x| +x|2− x|≥ 0

Выпишем ОДЗ: $x ⁄= 2.$ Тогда на ОДЗ имеем $|2− x|> 0.$ Значит, можем домножить обе части неравенства на $|2 − x|> 0 :$

8− x3+ x|2 − x|⋅|2− x|≥ 0 3 2 8 − x +x((2− x) ≥ 0) 8− x3+ x⋅ x2− 4x+ 4 ≥ 0 3 3 2 8− x + x − 4x + 4x ≥ 0 −4x2+ 4x+ 8 ≥0

Разделим обе части неравенства на $− 4,$ при этом оно поменяет знак:

x2− x− 2≤ 0 (x+ 1)(x − 2)≤ 0

Решим это неравенство методом интервалов:

$x−2+−+1$

Пересекая полученный интервал $[−1;2]$ с ОДЗ $x ⁄= 2,$ получаем ответ:

x ∈[−1;2)

Ответ:

$[−1;2)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#77233

Решите неравенство

|2x − 1|≤|4x+ 1|

Показать ответ и решение

Неравенство равносильно

(2x− 1)2 ≤ (4x +1)2 (2x− 1)2− (4x+ 1)2 ≤ 0 (2x− 1+ 4x+ 1)(2x − 1 − 4x − 1)≤ 0 6x⋅(−2x − 2) ≤0 x(x+ 1)≥ 0 ⌊ x≥ 0 ⌈ x≤ − 1

Ответ:

$(−∞; −1]∪ [0;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#77234

Решите неравенство

|x− 1|<2x − 4

Показать ответ и решение

Рассмотрим неравенство вида $|f|< g.$

Если $g > 0,$ то неравенство равносильно $− g < f < g.$

Если $g ≤ 0,$ то неравенство имеет вид «модуль меньше неположительного числа», что не имеет решений. Следовательно, исходное неравенство равносильно системе

( {2x− 4 >0 ( − 2x + 4< x− 1< 2x− 4 (| ||{x >2 |x − 1 < 2x − 4 ||(x − 1 > −2x+ 4 (| ||{x >2 |x >3 ||(x > 5 3

Отсюда получаем $x> 3.$

Ответ:

$(3;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#77235

Решите неравенство

1 ≤ |x − 2|< 3

Показать ответ и решение

Неравенство равносильно совокупности

⌊ 1 ≤ x− 2< 3 ⌈ − 3< x− 2≤ − 1 ⌊ ⌈3 ≤ x< 5 − 1< x≤ 1

Ответ:

$(−1;1]∪[3;5)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#77236

Решите неравенство

||x|− 2|≤ 1

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

− 1≤ |x|− 2≤ 1 1 ≤ |x|≤ 3 ⌊ ⌈1 ≤x ≤ 3 − 3≤ x≤ −1

Ответ:

$[−3;−1]∪[1;3]$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#77238

Решите неравенство

|x − 3|≥|8− x|

Показать ответ и решение

Неравенство равносильно

(x− 3)2 ≥(8− x)2 (x− 3)2− (8 − x)2 ≥ 0 (x− 3− 8+ x)(x − 3 +8 − x) ≥0 (2x − 11)⋅5 ≥ 0 2x− 11≥ 0 2x ≥11 11 x ≥ 2-

Ответ:

$[ ) 11;+ ∞ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#77239

Решите неравенство

|2x + 3|≤4x

Показать ответ и решение

Рассмотрим неравенство вида $|f|≤g.$

Если $g ≥ 0,$ то неравенство равносильно $− g ≤f ≤ g.$

Если $g < 0,$ то неравенство имеет вид «модуль меньше отрицательного числа», что не имеет решений. Следовательно, исходное неравенство равносильно системе

$pict$

Отсюда получаем $3 x≥ 2 .$

Ответ:

$[ ) 3;+∞ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#77240

Решите неравенство

||x− 3|− 2|≤1

Показать ответ и решение

Рассмотрим неравенство вида $|f|≤g.$

Если $g ≥ 0,$ то неравенство равносильно $− g ≤f ≤ g.$ Так как $1> 0,$ то исходное неравенство равносильно

− 1≤ |x− 3|− 2 ≤ 1 1≤ |x− 3|≤3 ⌊ ⌈ 1≤ x− 3≤ 3 −3≤ x − 3 ≤ −1 ⌊ ⌈ 4≤ x≤ 6 0≤ x≤ 2

Ответ:

$[0;2]∪ [4;6]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#85238

Решите неравенство

log ((4− |x+ 2|)≤ 1. |x−1|

Показать ответ и решение

Неравенство по методу рационализации равносильно

(||(|x− 1|− 1)(4 − |x+ 2|− |x − 1|)≤ 0 |||| {|x− 1|> 0 ||||x− 1|⁄= 1 |||( 4 − |x+ 2|> 0

Рассмотрим первое неравенство по отдельности на промежутках, на которых каждое из подмодульных выражений принимает значения одного знака (промежутки $x< −2,$ $− 2≤ x≤ 1$ и $x > 1$ ).

⌊( |{ x< −2 ||( ⌊ ||( x(2x +5)≥ 0 x ≤ −2,5 ||{ −2≤ x ≤ 1 || ||( x≥ 0 ⇔ |⌈0 ≤ x≤< 1,5 |||( x ≥ 2 |⌈{ x> 1 ( (x − 2)(2x− 3)≥ 0

Решим оставшиеся неравенства из системы:

(| |x − 1|> 0 (|x ⁄=1 ||{ ||{ | |x − 1|⁄= 1 ⇔ |x ⁄=0;2 ||( 4− |x+ 2|>0 ||(−6 < x< 2

Пересечем полученные значения с решением первого неравенства и получим окончательный ответ

x∈ (−6;−2,5]∪(0;1)∪ (1;1,5]

Ответ:

$(−6;−2,5]∪(0;1)∪(1;1,5]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#85243

Решите неравенство

| | ||3x+-1||< 3 | x− 3|

Показать ответ и решение

Неравенство вида $|f|< a,$ где $a$ — положительное число, равносильно

−a< f < a

Следовательно, наше неравенство равносильно

− 3< 3x+-1 < 3 ⇔ x− 3 ( 3x+ 1 |{ x−-3-− 3< 0 |( 3x+-1+ 3> 0 ⇔ ( x− 3 |{ -10-< 0 x6−x−38 ⇔ |( x−-3-> 0 ( ||||{x⌊ < 3 x< 4 ⇔ |||||⌈ 3 ( x> 3 4 x< 3

Ответ:

$(− ∞; 4) 3$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#85244

Решите неравенство

| | ||x−-1||> 1 |x+ 2|

Показать ответ и решение

Неравенство вида $|f|> a,$ где $a$ — положительное число, равносильно

⌊ f > a ⌈ f < − a

Следовательно, наше неравенство равносильно

⌊ x− 1 | x+-2-− 1 > 0 |⌈ x− 1 ⇔ x+-2-+1 < 0 ⌊ −3 | x+-2-> 0 |⌈ 2x+ 1 ⇔ x-+2- <0 ⌊ | x< −2 ⌈ 1 −2< x < −2

Ответ:

$(−∞; −2)∪ (−2;− 1) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#85245

Решите неравенство

|3x − 6|> x +2

Показать ответ и решение

Если $x+ 2< 0,$ то нераавенство несет смысл «модуль больше отрицательного выражения». Такое неравенство верно при всех $x$ из ОДЗ. Если же $x+ 2≥ 0,$ то неравенство имеет вид неравенства $|f|> a,$ где $a ≥0,$ что равносильно

⌊ ⌈ f > a f < − a

Следовательно, наше неравенство равносильно

( ⌊{ x+ 2< 0 ||( ||( x∈ ℝ ||||| x+ 2≥ 0 ⇔ |||{ ⌊ ⌈||| ⌈3x− 6 >x + 2 ( 3x− 6 <− x− 2 ⌊ |x( <− 2 ||||| x≥ −2 |||{ ⌊ ⇔ ⌈||| ⌈x >4 ( x <1 ⌊ ⌈x >4 x <1

Ответ:

$(−∞; 1)∪(4;∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#85246

Решите неравенство

|3x− 7|≥ 2x− 3

Показать ответ и решение

Если $2x− 3≤ 0,$ то нераавенство несет смысл «модуль не меньше неположительного выражения». Такое неравенство верно при всех $x$ из ОДЗ. Если же $2x − 3> 0,$ то неравенство имеет вид неравенства $|f|≥ a,$ где $a> 0,$ что равносильно