Тема Бельчонок

Функции на Бельчонке

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела бельчонок

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#120569Максимум баллов за задание: 7

Найдите все тройки $(a,b,c)$ натуральных чисел, для которых

3 3 2 a + b = (abc− 1)

Источники: Бельчонок - 2025, Вариант 1, 11.5(см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видно, что условие инвариантно относительно перестановки a и b. Значит, можно не умаляя общности предположить, что a ≥ b.

Подсказка 2

Давайте для упрощения обозначим bc через t, перенесём всё влево и рассмотрим выражение слева как многочлен от a.

Подсказка 3

Давайте заметим, что при a ≥ t² функция принимает только положительные значения. Значит, осталось исследовать её на отрезке [b; t² - 1].

Подсказка 4

При слишком больших t она на этом отрезке будет отрицательной, чтобы это доказать, узнайте, как располагаются экстремумы функции относительно этого отрезка и найдите её максимум на отрезке.

Показать ответ и решение

Из-за симметрии можно считать, что $a≥b.$ Положим $t= bc$ и перепишем уравнение в виде $F(a) =0,$ где $F(a)=a3 − t2a2 +2ta+b3− 1.$ Если $2 a ≥t ,$ то

2 2 3 F (a)= a (a− t)+ 2ta +b − 1> 0

Если $b≤a ≤t2− 1$ (а, значит, $t≥2),$ то при $t≥ 4$ будет верно неравенство

F (a)< 0

Действительно, точка локального максимума:

{ F′(a0)= 0 F′′(a0) <0

( { 3a20 − 2a0t2+ 2t= 0 ( a0 < t2- 3

√----- a0 = t2−-t4-− 6t< 1 3

функции $F(a)$ не лежит на отрезке $[b,t2− 1],$ поэтому максимальное значение на данном отрезке $F(a)$ принимает на его концах. Вместе с тем, имеем

F(b)= −t2b2 +2b3+ 2tb− 1= −c2b4+ 2b3+ 2cb2− 1= −b2(b2c2− 2b− 2c)− 1< 0,

поскольку $b2c2− 2b− 2c> 0$ при $bc≥ 4,$ а также

F(t2− 1)=− t4+ 2t3 +b3+ 2t2− 2t− 2≤ −t4+ 3t3+ 2t2− 2t− 2 =− t2(t2− 3t− 2)− 2t− 2< 0,

при $t≥4.$

Остаётся случай $2 ≤t≤ 3,$ где находим тройку $(2,1,2).$

Ответ:

$(a,b,c)∈{(1,2,2),(2,1,2)}$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#137274Максимум баллов за задание: 7

Cуществует ли функция $f,$ заданная на множестве всех действительных чисел и принимающая действительные значения, и действительное число $a,$ такие, что $f(a)=− 2$ и $f(f(x))= xf(x)+ 2x$ для любого действительного $x?$

Источники: Бельчонок - 2024, вариант 4, 10.5 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас не так много информации, новую мы можем получить только при подстановке в имеющиеся тождества.

Подсказка 2

Чему равно f(f(a))? Попробуйте получить два равенства.

Подсказка 3

Итого 0 = f(-2). Самое время найти f(0) и повторить аналогичные действия еще пару раз!

Подсказка 4

А как тут можно прийти к противоречию?

Показать ответ и решение

Предположим, что такая функция существует. Подставим в данное тождество число $a,$ получим

f(− 2)= f(f(a))= −2a+ 2a =0

Теперь подставим $− 2$ в исходное тождество

f(0)= f(f(−2))=− 4

Подставим $0,$ тогда

f(−4)= f(f(0))= 0

Подставим $− 4,$ тогда

f(0)= f(f(−4))=− 8

Но мы уже получили, что $f(0)= −4,$ поэтому такой функции не существует.

Ответ: Нет, не существует

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#77790Максимум баллов за задание: 7

Найдите все функции $f(x)$ такие, что для всех действительных $x$ и $y$ выполняется равенство

(3 3) 2 ( 2) f x + y = xf(x)+yf y

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами функциональное уравнение, поэтому давайте сначала попробуем подставить хорошие значения x и y. Что будет, если мы подставим x=y=0, x=0 и y=x, y=0?

Подсказка 2

Ага, получаем, что f(0)=0. Получаем, что f(x³) можно выразить двумя способами, потом нам это понадобиться. Ещё из равенств мы понимаем, что f(x³ + y³) = f(x³) + f(y³). Почему из этого равенства следует, что f(x+y)=f(x) + f(y)? Попробуйте отсюда понять, почему наша функция нечётная.

Подсказка 3

Верно, так как x³ принимает любые значения, то с соответствующей заменой мы получаем равенство f(x+y) = f(x) + f(y). А при помощи подстановки y=-x получаем нечётность функции. Теперь же из равенства, где мы выразили f(x³) двумя способами, получаем ещё одно равенство с аргументами x² и x. Попробуйте подставить x+1 в это равенство и применить все полученные знания. Ещё немного преобразований, и победа! Не забудьте проверить, что функция действительно удовлетворяет уравнению.

Показать ответ и решение

Выполним подстановки $x =0$ и $y =0,$ получим:

3 2 3 2 f(0) =0,f(x + 0)= xf(x),f(0+ x)= xf(x )⇒

3 2 2 3 3 3 3 ⇒ f(x )= xf(x)= xf(x ) и f(x + y)= f(x)+ f(y).

Из этого следует, что $f(x+y)= f(x)+f(y).$

Если $y = −x,$ то $f(−x)= −f(x),$ т.е. $f−$ нечётная функция. Далее будем считать что аргумент больше $0.$ Тогда $x2f(x)=xf(x2),$ откуда $f(x2)= xf(x).$ Следовательно,