.05 Двойственное (сопряженное) пространство. Сопряженные операторы.

1. Чтобы проверить, что - подпространство в , надо проверить, что оно замкнуто относительно сложения функционалов и умножения их на числа.

Действительно, пусть . Тогда тоже ?

Берем любой , и считаем:

(здесь мы воспользовались тем, что и сами были из аннулятора).

Получаем, что и сумма тоже лежит в аннуляторе.

Пусть . Тогда если возьмем любой , то для любого получим

(здесь мы воспользовались тем, что сам был из аннулятора).

Значит, замкнуто и относительно умножения на скаляры тоже. Значит, мы проверили, что - подпространство в . Ну, почти. На самом деле, надо еще проверить, что - всегда непусто, потому что подпространство не может быть пустым.

Но это правда так, например, нулевой функционал всегда лежит в любом аннуляторе любого множества.

2. А какая будет размерность аннулятора ? Давайте попробуем это понять. Во-первых, хотя само и не обязано было быть подпространством в , это было лишь подмножество в . Но, тем не менее, если обозначить через линейное подпространство в , порожденное всеми векторами из , то практически очевидно, что

Действительно, включение

очевидно, потому что если какой-то линейный функционал аннулирует всевозможные линейные комбинации векторов из , то он аннулирует, в частности, и все векторы из . Покажем включение в обратную сторону, то есть покажем включение

Итак, пусть , то есть для любого . Пусть теперь мы берем какой-то вектор . Но тогда является линейной комбинацией векторов из , то есть можно записать в виде

Но тогда

То есть получается, что и для любого . Тем самым, мы показали обратное включение.

Следовательно,

А поэтому, раз они просто тупо равны как подпространства в , то конечно и их размерности равны:

Но размерность уже нетрудно найти.

А именно, - это некоторое подпространство в . Выберем базис в нём. Пусть

- базис в . Дополним его до базиса во всём . То есть будет

- базис во всем пространстве .

Пусть теперь

- двойственный базис в .

Теперь, если какой-то функционал лежит в аннуляторе , то, разложим его по двойственному базису:

Но если , то должен обнуляться на всех векторах из , в том числе, . Но, вспоминая построение двойственного базиса, понимаем, что это означает, что . Таким образом, на самом деле раскладывается по базису в следующим образом:

То есть, размерность аннулятора не больше, чем . Но на самом деле она в точности равна , поскольку все базисные функционалы

очевидно лежат в .

Таким образом, мы получаем, что