Метод отделяющей касательной

Рассмотрим функцию при Заметим, что при в исходном неравенстве достигается равенство. Уравнение касательной к в точке имеет вид Рассмотрим следующее неравенство:

Его можно записать в таком виде:

Заметим, что Следовательно, при неравенство выполняется.

Значит, если положительные числа меньше и их сумма равна то левая часть исходного неравенства оценивается снизу выражением

Пусть теперь хотя бы одно из чисел хотя бы Заметим, что убывает при поскольку Также заметим, что на промежутке принимает положительные значения. Таким образом, левая часть, равная не меньше минимума на отрезке равного то есть