Тема Классические неравенства

Метод отделяющей касательной

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела классические неравенства

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#81820

Пусть $a,b,c,d> 0,a+ b+ c+d =4.$ Докажите, что

-1--- -1--- --1-- --1-- a2+1 + b2+ 1 + c2+ 1 + d2+ 1 ≥ 2

Показать ответ и решение

Заметим, что равенство достигается при $a= b= c= d= 1.$ Касательная функции $f(x)= -1-- x2+1$ в точке $x =1$ имеет вид $− 1x+ 1. 2$ Домножением на $2 x +1$ и приведением подобных нетрудно показать, что при положительных $x$ справедливо неравенство $--1- 1 x2+1 ≥ − 2x+1.$ Значит, левая часть исходного неравенства не меньше

1 1 1 1 1 (−2a+ 1)+(− 2b+1)+ (− 2c+ 1)+ (−2d+ 1)= 4− 2(a+ b+ c+d)= 2

что и требовалось.

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#81821

Сумма положительных $a,b,c$ равна $π . 2$ Докажите, что

cosa+cosb+ cosc> sina+ sinb+ sinc

Показать доказательство

Рассмотрим функцию $f(x)=cos(x)− sin(x).$ В точке $x = π. 4$ Выберем точку, в которой производная $f$ принимает наименьшее значение при $π x∈ (0;2).$ Такой точкой является $π x= 4.$ Заметим, что $f$ пересекает ось ординат в точке $(0;1).$ Составим уравнение прямой, проходящей через $(0;1),$ тангенс угла которой совпадает с тангенсом угла касательной $f$ в точке $π √- x = 4 :y = 1− x 2.$

Теперь покажем, что при всех $π x∈ [0;2]$ справедливо неравенство $√- cos(x)− sin(x)> 1− x 2.$ Для этого нужно взять производную у функции $√- h(x)= cos(x)− sin(x)+ x 2 − 1,$ найти её корни и заметить, что её минимум достигается на границе отрезка $x= 0,$ и он равен $0.$ Доказали.

Теперь перенесём синусы влево и оценим левую часть снизу выражением $√ - π⋅√2 3− (a +b+ c) 2= 3− -2-.$ Нетрудно убедиться, что последнее выражение больше $0,$ что и требовалось.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#81822

Даны положительные $a,b,c$ такие, что $a2+b2+ c2 =3.$ Докажите, что

--1- --1- --1- 2− a +2 − b + 2− c ≥ 3

Показать доказательство

Рассмотрим функцию $f(x)= -1-. 2−x$ Попробуем подобрать такую квадратичную функцию $g(x)=kx2+ m,$ что $f(x)≥ g(x)$ при $√ - x ∈(0; 3).$ Заметим, что при $a= b= c$ исходное неравенство обращается в равенство. Выберем такие $k$ и $m,$ что $f(1)= g(1)$ и $′ ′ f (1)= g(1),$ то есть $1 k =m = 2.$

Понятно, что при $√ - x∈ (0; 3)$ неравенство $-1- x2+1 2−x ≥ 2$ равносильно неравенству $2 x(x − 1) ≥ 0,$ которое верно на рассматриваемом отрезке.

Таким образом, левая часть неравенства не превосходит $a2+b2+c2+3- 2 = 3,$ что и требовалось.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#81823

Пусть даны числа $a,b,c.$ Докажите неравенство $a4 +b4+ c4 ≥4abc− 1.$

Показать ответ и решение

Перенесём все слагаемые влево:

4 4 4 a +b + c − 4abc+1 ≥0

Рассмотрим левую часть как функцию от $a$ и возьмём производную. Она равна $4a3 − 4bc,$ то есть имеет единственный корень $a =(bc)13.$ Эта точка является точкой минимума функции, притом в ней функция принимает минимальное значение на всей вещественной оси. Значит, можно заменить $a$ на $(bc)13$ и неравенство только усилится. Сделаем это и приведём подобные:

4 4 1 b+ c − 3bc⋅(bc)3 + 1≥ 0

Осталось заметить, что по неравенству о средних $b4+c4+ 1≥ 3bc⋅(bc)13,$ это доказывает написанное выше неравенство, равно как и первоначальное.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#81824

Для положительных $a,b,c$ верно, что $a+ b+c= 1.$ Докажите, что

3 3 3 5 5 5 10(a + b +c )− 9(a +b + c) ≥1

Показать доказательство

Рассмотрим функцию $f(x)=10x3− 9x5$ при $x∈ (0,1).$ Заметим, что при $a= b= c= 1 3$ в исходном неравенстве достигается равенство. Уравнение касательной к $f$ в точке $1 x = 3$ имеет вид $25 16 y = 9 x− 27.$ Рассмотрим следующее неравенство:

3 5 25 16 10x − 9x ≥-9 x− 27

Его можно записать в таком виде:

1 16 (x− 3)2(9x3 +6x2− 7x− 3-)≤0

Заметим, что $9x3+ 6x2− 7x− 136= (x − 0.9)(9x2+ 14,1x+ 5,69)− 6330070.$ Следовательно, при $x∈(0;0,9)$ неравенство выполняется.

Значит, если положительные числа $a,b,c$ меньше $0,9$ и их сумма равна $1,$ то левая часть исходного неравенства оценивается снизу выражением $259 (a+b +c)− 169-=1.$

Пусть теперь хотя бы одно из чисел $a,b,c$ хотя бы $0,9.$ Заметим, что $f$ убывает при $x∈[0,9;1],$ поскольку $f′(x) =−45x2(x2− 23).$ Также заметим, что $f$ на промежутке $(0;1]$ принимает положительные значения. Таким образом, левая часть, равная $f(a)+ f(b)+ f(c)$ не меньше минимума $f$ на отрезке $[0,9;1],$ равного $f(1),$ то есть $1.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#81826

Даны положительные $a,b,c.$ Докажите, что

5 2 5 2 5 2 3 (a − a + 3)(b− b + 3)(c− c + 3)≥ (a+ b+c)

Показать доказательство

Рассмотрим функцию $f(x)=x5− x2+ 3.$ Попробуем подобрать такую функцию $g(x)= kx3+ m,$ что $f(x)≥g(x)$ при $x >0.$ Заметим, что при $a= b=c$ неравенство обращается в равенство. Поэтому числа $k$ и $m$ выберем такими, что $f(1)= g(1)$ и $′ ′ f (1)= g (1).$ Этим условиям соответствуют $k= 1$ и $m =2.$ Следовательно, $3 g(x)= x +2.$