Неравенство Йенсена

Запишем критерий арифметической прогрессии для трёх чисел, что её второй член является средним арифметическим первого и третьего:

Заметим, что

Тогда после замены получаем

где

Рассмотрим функцию при

Если и то её вторая производная

ненулевая и имеет постоянный знак, поэтому функция строго выпукла, так что по неравенству Йенсена равенство

возможно только при но в нашем случае

Поэтому или то есть

Оба уравнения имеют по два различных действительных корня, произведения которых равны 11 и 9 соответственно по теореме Виета. Причём все 4 корня различны (уравнения различны), поэтому произведение всех корней равно 99.