Неравенство Йенсена
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Про положительные числа известно, что
, и каждое из них не превосходит
. Докажите, что
Источники:
Подсказка 1
Давайте подумаем, как можно применить то, что каждая переменная не превосходит 1/2. Например, можно получить выражение (1 - 2х), которое всегда больше 0. Как это сделать?
Подсказка 2
Мы можем всё, кроме корня из суммы квадратов, переместить влево. Тогда какое неравенство можно применить? Сумма скобок равна 1. На какое неравенство это может намекать?
Подсказка 3
Неравенство Йенсена! Его можно применить для корня, вогнутой функции. После недолгих преобразований под корнем не трудно прийти к искомому.
Перенесём влево чтобы вынести корни за скобки. Получаем, что нужно доказать:
В силу того, что и
меньше либо равны
числа
неотрицательны, а их сумма равна
ведь
Функция
является вогнутой, тогда применив неравенство Йенсена для этой функции, переменных
и
коэффициентов
и
получаем:
Теперь заметим, что
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Числа положительны и удовлетворяют соотношению
Найдите наименьшее возможное значение
выражения
Источники:
Подсказка 1
Рассматривать сумму дробей, у которых в знаменателе стоит разность, не очень удобно. Давайте тогда сделаем замену!
Подсказка 2
Делаем замену 1-a=x, 1-b=y, 1-c=z, 1-d=w. Что тогда можно сказать про их сумму? А как преобразятся дроби, если мы выделим в них целую часть?
Подсказка 3
x+y+z+w=3, а сумма дробей преобразится в выражение с 1/x+1/y+1/z+1/w. Нужно вспомнить, а в каком известном неравенстве есть похожее выражение?
Подсказка 4
Воспользуйтесь неравенством между средним гармоническим и средним арифметическим!
Первое решение.
Пусть
Тогда
и каждое из чисел
положительно. Подставим
замену в исходное выражение
Раскроем скобки в каждом числителе и разделим почленно, тогда получится следующее:
По неравенству между средним гармоническим и средним арифметическим:
Таким образом, Равенство достигается при
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
Заметим, что функция выпукла на промежутке
, так как
Ясно, что при
Так как
и
то все эти числа принадлежат промежутку
Тогда
по неравенству Йенсена для функции
получаем
Оценим снизу по неравенству Коши-Буняковского-Шварца
откуда
Подставим оценку в последнее полученное выражение:
Равенство достигается при
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Замечание.
Если знать неравенство Седракяна (так же известное, как неравенство Коши-Буняковского-Шварца для дробей)
то сразу же получаем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Подсказка 1, пункт (a)
Слева в неравенстве у нас степени, а справа дробь. Какая функция могла бы их связать?
Подсказка 2, пункт (a)
Верно! Функция y = ln(x) вогнута (выпукла вниз). Если прологарифмировать неравенство, то знак сохранится. А можно ли доказать неравенство, которое получится после этого?
Подсказка 1, пункт (b)
С помощью неравенства Йенсена и функции y = ln(x) легко доказать неравенство из пункта (a). Однако на этот раз знак не совсем в нужную сторону. А можно ли "развернуть неравенство"?
Подсказака 2, пункт (b)
Верно! Если записать неравенство для обратных величин, то знак неравенства сменится. Можно ли теперь применить неравенство Йенсена и функцию y = ln(x)?
(a) Рассмотрим функцию Она, очевидно, выпукла вниз. Тогда по неравенству Йенсена получаем
Слева объединим все в один логарифм и потенциируем неравенство, получим
(b) Сначала перевернем наше неравенство и получим
По неравенству Йенсена для функции имеем
Далее аналогично пункту собираем слева все в один логарифм и потенциируем, тогда получается нужное неравенство
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Подсказка 1, пункт (a)
Попробуем сделать замену так, чтобы справа осталось какое-то понятное выражение. Например, среднее арифметическое! Как этого добиться?
Подсказка 2, пункт (a)
Верно! Заменим q-ую степень x₁ на y₁ и аналогично с остальными. Тогда справа в неравенстве степени уйдут, а слева появится (p/q)-ая степени новых переменных. Если теперь мы еще и возведем обе части в q-ую степень, то справа останется среднее арифметическое игриков, а справа будет корень степени (p/q). Мы свели неравенство из задачи к случаю q = 1. Попробуем теперь придумать выпуклую или вогнутую функцию и применить неравенство Йенсена!
Подсказка 3, пункт (a)
Конечно! Подходит функция, сопоставляющая данному x значение x в степени p/q, причем эта функция выпукла, так как p > q > 0! Как тогда применить неравенство Йенсена?
Подсказка 1, пункт (b)
Для случая p > q = 0 попробуем применить неравенство о средних! К какому набору стоит его применить?
Подсказка 2, пункт (b)
Верно! Подойдет набор из p-ых степеней переменных! А к какому известному неравенству о средних можно свести неравенство для случая 0 = p > q?
Подсказка 1, пункт (c)
Почти все неравенства являются следствиями предыдущих пунктов. Единственный случай, который мы еще не рассматривали, получается, когда 0 > p > q. Можно ли свести его к одному из предыдущих?
Подсказка 2, пункт (c)
Степени переменных в выражениях отрицательны. Что получится, если вместо p и q, поставить |p| и |q| и выражения из условия записать по определению отрицательной степени?
(a) Сначала сделаем замену Тогда доказываемое неравенство примет вид
Теперь возведем обе части в степень и получим
Заметим, что Пусть
Тогда достаточно доказать
Заметим, что
Поскольку
то это положительное выражение. Тогда по неравенству Йенсена
(b) Для случая достаточно заметить, что
по неравенству между средним арифметическим и
средним геометрическим. Взятие корня степени
для обеих частей дает искомое неравенство
Для неравенства где
можно использовать неравенство между средним геометрическим и средним гармоническим,
поскольку
можно записать в виде
По неравенству о среднем геометрическом и среднем гармоническом
Возведением в степень обеих частей получим необходимое неравенство
(c) Неравенства и
легко получаются заменой всех
на минимальное или максимальное среди
них. Неравенство
для
было доказано в пункте
а неравенство в случае
очевидно из
пункта
Докажем для случая
В этом случае имеем
то есть
Тогда по пункту
Переворачиваем дроби и не забываем развернуть знак неравенства
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Для положительных чисел
и
докажите неравенство
Подсказка 1
В задача нужно доказать, что сумма корней меньше числа, а функция sqrt(x) как раз выпукла вниз, значит, можно попробовать применить неравенство Йенсена. Как для этого преобразовать слагаемые?
Подсказка 2
Чтобы удобно применит неравенство Йенсена, нужно добиться удобных весов. Как это сделать? Нужно, чтобы сумма коэффициентов была числом. Попробуйте преобразовать дроби по отдельности, чтобы добиться этого.
Подсказка 3
Вынесите из под первого корня (4a+4c+b)/9(a+b+c), аналогично сделайте с остальными дробями. После неравенства Йенсена у вас получится однородное неравенство. Осталось только добить его.
Функция выпукла вниз, поэтому по неравенству Йенсена получаем
Если то каждую дробь суммы под корнем можно сократить на
и доказывать неравенство для чисел
Таким образом, без ограничения общности можно полагать, что
Остается доказать неравенство
Последнее неравенство верно, так как и по неравенству между средним арифметическим и средним
геометрическим
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть
и
Докажите, что
Подсказка 1
Неравенство Йенсена применяется, когда фиксирована сумма, а не произведение. Как преобразовать условие, чтобы получилась сумма?
Подсказка 2
Чтобы получить сумму, нужно сделать замену a = e^x и еще 3 аналогичных, теперь сумма станет фиксированной. Какая будет функция? Возьмите 2 раза производную.
Подсказка 3
Оказывается, что знак второй производной не однозначен, есть одна точка, когда вторая производная равна нулю. Разберите несколько случаев в зависимости от того, сколько точек в положительной зоне, а сколько в отрицательной. Что говорит неравенство Йенсена для чисел из одной области?
Положим Тогда
и необходимо доказать, что
Пусть в таком случае
тогда
Тогда при
функция выпукла вверх, а при
— выпукла
вниз.
Пусть Тогда по неравенству Йенсена
Пусть Тогда по неравенству Йенсена
что в терминах изначальной задачи равносильно случаю, когда из четырех переменных равны.
Пусть Тогда по неравенству Йенсена
что отправляет нас в предыдущий случай.
Пусть Тогда по неравенству Йенсена
что отправляет нас в первый случай.
Вариант, где все переменные меньше невозможен в силу того, что общая сумма равна нулю, тогда достаточно доказать
неравенство, когда
переменные совпадают.
Последнее очевидно в силу отрицательности дискриминанта.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сумма положительных чисел
и
равна
Докажите неравенство
Подсказка 1
В задача нужно доказать, что сумма корней меньше числа, а функция sqrt(x) как раз выпукла вниз, значит, можно попробовать применить неравенство Йенсена. Как для этого преобразовать слагаемые?
Подсказка 2
Хочется, чтобы сумма вынесенных коэффициентов была числом. Как это можно сделать? Сделайте коэффициент первой дроби равным (a+b)/2 и симметрично в остальных слагаемых. Что останется сделать после применения неравенства Йенсена?
Данное неравенство эквивалентно
Для выпуклой вниз функции применим неравенство Йенсена
Итак, остается показать, что
Данное неравенство после раскрытия скобок и привидения подобных слагаемых принимает вид
Это неравенство очевидно верно, поскольку по неравенству о средних Аналогичную оценку можно сделать
для остальных слагаемых левой части, после чего все три неравенства сложить.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сумма положительных вещественных чисел и
равна
Докажите, что
Рассмотрим функцию Её вторая производная равна
Нетрудно видеть, что при положительных
она
положительна.
Если поделить неравенство на то c помощью неравенства Йенсена для функции
и чисел
и
можно нестрого оценить
левую часть снизу выражением
Значит, достаточно доказать неравенство
Заметим, что Если решать последнее неравенство относительно
тождественными
преобразованиями, то получим
По неравенству о средних
Если подставить
вместо
, возвести неравенство в квадрат и поделить на
получим последнее неравенство, что и требовалось.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть — неотрицательные числа. Докажите, что
Рассмотрим функцию Её вторая производная равна
Ясно, что она положительна.
Поделим неравенство на и применим к левой части неравенство Йенсена для функции
и набора
и
Теперь будем доказывать следующее неравенство:
С помощью тождественных преобразований оно приводится к виду Что и требовалось.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что для любых положительных верно, что
Функция является выпуклой функцией, так как
Так как неравенство однородное, то можем положить
Тогда неравенство превращается в вид
По неравенству Йенсена получаем,
что
где последнее неравенство следует из и
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите неравенство о среднем взвешенном:
где все и
неотрицательны.
Возьмём логарифм от обеих частей. Тогда наше неравенство равносильно
которое есть неравенство Йенсена для вогнутой функции (
).
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Неравенство Минковского. Для положительных и
Поделим всё на Получим неравенство
Введём новые переменные Получим неравенство
Логарифмируя полученное неравенство, получим равносильное ему
Так как функция вогнутая, а
это монотонно возрастающая функция, то
где последнее неравенство следует из неравенства между средних арифметическим и средним геометрическим.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите произведение всех значений , при каждом из которых
Подсказка 1
Так-так, на первый взгляд это что-то очень страшное. Но давайте сделаем логичные первоначальные действия, которые сильно упростят задачу: заменим квадратный трёхчлен с x на
Подсказка 2
Что же делать теперь? Ну да, конечно, рассмотрим функцию f(t) = t^a, где а - какой-то параметр, а t > 0. Если a ≠ 0 и a ≠ 1, то функция строго выпукла. В этот момент подумайте про неравенство Йенсена!
Подсказка 3
Да-Да, почти очевидно, что равенство может достигаться только тогда, когда a = 0 или a = 1. Запишем тогда два квадратных уравнения и по теореме Виета найдём произведение их корней.
Запишем критерий арифметической прогрессии для трёх чисел, что её второй член является средним арифметическим первого и третьего:
Заметим, что
Тогда после замены получаем
где
Рассмотрим функцию при
Если и
то её вторая производная
ненулевая и имеет постоянный знак, поэтому функция строго выпукла, так что по неравенству Йенсена равенство
возможно только при но в нашем случае
Поэтому или
то есть
Оба уравнения имеют по два различных действительных корня, произведения которых равны 11 и 9 соответственно по теореме Виета. Причём все 4 корня различны (уравнения различны), поэтому произведение всех корней равно 99.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Положительные числа
таковы, что
Докажите, что
Подсказка 1
Попробуем применить неравенство Йенсена. Какую функцию можно было бы применить?
Подсказка 2
Верно, попробуем применить функцию f(x) = ln(1+²). В терминах этой функции после логарифмирования неравенство принимает достаточно простой вид. А на каком промежутке наша функция выпукла?
Подсказка 3
Верно, на промежутке x ≥ 1. Среди наших чисел могут появиться меньшие 1, поэтому напрямую неравенство Йенсена применить нельзя. А можно ли как-то получить аргументы заведомо не меньшие 1.
Подсказка 4
Упорядочим переменные a ≥ b ≥ c. Ясно, что a ≥ 1 и bc ≥ 1. Тогда легко видеть, что (b + c)/2 ≥ 1. Возникает гипотеза: выполняется неравенство (f(x) + f(y))/2 ≤ f((x+y)/2) при xy ≥ 1. Как его доказать?
Подсказка 5
Верно! Можно избавиться от логарифмов, и в получившемся неравенстве раскрыть скобки и выделить в левой части полные квадраты для (xy - 1) и (x + y), а затем применить неравенство Коши и снова преобразовать, раскрыв скобки. Итак, выполняется неравенство (f(x) + f(y))/2 ≤ f((x+y)/2), а доказать мы хотим (f(a) + f(b) + f(c))/3 ≤ f((a+b+c)/3). Попробуем применить доказанное неравенство и объединить два слагаемых числителя в левой части! Что получится?
Подсказка 6
Верно! Получится, что нужно доказать (f(a) + 2f((b+c)/2))/3 ≤ f((a+b+c)/3). Можно ли теперь применить неравенство Йенсена?
Пусть Тогда исходное неравенство эквивалентно
Заметим, что при имеем неравенство
Действительно, для
В терминах функции это неравенство можно записать так:
при
Без ограничения общности будем полагать С помощью доказанного выше неравенства получаем
Из условия следует, что и
Тогда
Тогда на промежутке функция
вогнута (выпукла вниз), поэтому по неравенству Йенсена имеем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что для любых положительных выполнено
Источники:
Подсказка 1
Попробуем каждое слагаемое левой части оценить так, чтобы в числителе стоял числитель данной дроби в некоторой степени, а в знаменателе — сумма переменных в тех же степенях, что и числитель. Тогда в результате, когда мы сложим неравенства, все сократится, и неравенство будет доказано. Какие степени подойдут?
Подсказка 2
Верно! Попробуем степень 4/3. Как доказать, что каждое слагаемое не меньше, чем его числитель в степени 4/3, деленный на сумму a, b и c в степенях 4/3?
Подсказка 3
Ясно, что достаточно доказать это только для первой дроби. Преобразуем доказываемое неравенство так, чтобы в нем не осталось корней и знаменателей. Тогда в нем появится квадрат суммы a, b и c в степенях 4/3. Вычтем из него a в степени 8/3. Какое неравенство можно получить для этой разности, просто используя неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом?
Подсказка 4
Верно! Получилось почти то, что нужно. Если теперь мы вспомним, что оценивали разность, то что получится, если просто перенести a в степени 8/3 в другую сторону?
Первое решение.
Без ограничения общности можно полагать, что поскольку при
каждую дробь можно сократить
и доказывать неравенство для чисел
и
Функция
выпукла, поэтому по неравенству Йенсена
имеем
При этом определяется равенством
Тогда остается доказать, что Поскольку
можно доказать, что
Это неравенство нетрудно привести к виду
Истинность последнего неравенства очевидна, поэтому доказательство завершено.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
Для начала покажем, что Это неравенство эквивалентно
По неравенству о
среднем арифметическом и среднем геометрическом
Таким образом,
Итак, имеем неравенство
Аналогичным образом получаем еще и неравенства и
Складываем эти
неравенства и получаем требуемое неравенство