Неравенство Йенсена

(a) Сначала сделаем замену Тогда доказываемое неравенство примет вид

Теперь возведем обе части в степень и получим

Заметим, что Пусть Тогда достаточно доказать Заметим, что Поскольку то это положительное выражение. Тогда по неравенству Йенсена

(b) Для случая достаточно заметить, что по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим. Взятие корня степени для обеих частей дает искомое неравенство

Для неравенства где можно использовать неравенство между средним геометрическим и средним гармоническим, поскольку можно записать в виде

По неравенству о среднем геометрическом и среднем гармоническом

Возведением в степень обеих частей получим необходимое неравенство

(c) Неравенства и легко получаются заменой всех на минимальное или максимальное среди них. Неравенство для было доказано в пункте а неравенство в случае очевидно из пункта Докажем для случая В этом случае имеем то есть Тогда по пункту

Переворачиваем дроби и не забываем развернуть знак неравенства