Неравенство Йенсена
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
где
Подсказка 1, пункт (a)
Попробуем сделать замену так, чтобы справа осталось какое-то понятное выражение. Например, среднее арифметическое! Как этого добиться?
Подсказка 2, пункт (a)
Верно! Заменим q-ую степень x₁ на y₁ и аналогично с остальными. Тогда справа в неравенстве степени уйдут, а слева появится (p/q)-ая степени новых переменных. Если теперь мы еще и возведем обе части в q-ую степень, то справа останется среднее арифметическое игриков, а справа будет корень степени (p/q). Мы свели неравенство из задачи к случаю q = 1. Попробуем теперь придумать выпуклую или вогнутую функцию и применить неравенство Йенсена!
Подсказка 3, пункт (a)
Конечно! Подходит функция, сопоставляющая данному x значение x в степени p/q, причем эта функция выпукла, так как p > q > 0! Как тогда применить неравенство Йенсена?
Подсказка 1, пункт (b)
Для случая p > q = 0 попробуем применить неравенство о средних! К какому набору стоит его применить?
Подсказка 2, пункт (b)
Верно! Подойдет набор из p-ых степеней переменных! А к какому известному неравенству о средних можно свести неравенство для случая 0 = p > q?
Подсказка 1, пункт (c)
Почти все неравенства являются следствиями предыдущих пунктов. Единственный случай, который мы еще не рассматривали, получается, когда 0 > p > q. Можно ли свести его к одному из предыдущих?
Подсказка 2, пункт (c)
Степени переменных в выражениях отрицательны. Что получится, если вместо p и q, поставить |p| и |q| и выражения из условия записать по определению отрицательной степени?
(a) Сначала сделаем замену 
Тогда доказываемое неравенство примет вид
Теперь возведем обе части в степень 
и получим
Заметим, что 
Пусть 
Тогда достаточно доказать 
Заметим, что 
Поскольку 
то это положительное выражение. Тогда по неравенству Йенсена
(b) Для случая 
достаточно заметить, что 
по неравенству между средним арифметическим и
средним геометрическим. Взятие корня степени 
для обеих частей дает искомое неравенство 
Для неравенства 
где 
можно использовать неравенство между средним геометрическим и средним гармоническим,
поскольку 
можно записать в виде
По неравенству о среднем геометрическом и среднем гармоническом
Возведением в степень 
обеих частей получим необходимое неравенство 
(c) Неравенства 
и 
легко получаются заменой всех 
на минимальное или максимальное среди
них. Неравенство 
для 
было доказано в пункте 
а неравенство в случае 
очевидно из
пункта 
Докажем для случая 
В этом случае имеем 
то есть 
Тогда по пункту
Переворачиваем дроби и не забываем развернуть знак неравенства
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
