Тема . Классические неравенства

Неравенство Йенсена

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела классические неравенства

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#100690

Положительные числа $a,$ $b,$ $c$ таковы, что $min{ab,bc,ca}≥ 1.$ Докажите, что

∘ ----------------- ( a+ b+c)2 3 (a2+ 1)(b2+1)(c2+ 1)≤ ---3--- +1

Показать доказательство

Пусть $f(x)= log(1+ x2).$ Тогда исходное неравенство эквивалентно

f(a)+ f(b)+ f(c) ( a+ b+c) ------3------≤ f --3----

Заметим, что при $xy ≥ 1,x,y >0$ имеем неравенство

(( ) )2 (x2+1)(y2 +1)≤ x2+-y2 2+ 1 2

Действительно, для $(x2+y2)2 --2-- − 1 ≥xy− 1≥ 0.$

( ( )2 )2 ( ( )2 )2 (x2+ 1)(y2+1)= (xy− 1)2+ (x+ y)2 ≤ x2+-y2 − 1 + (x+ y)2 = x2+-y2 + 1 2 2

В терминах функции $f(x)$ это неравенство можно записать так:

f(x)+ f(y) ( x+y ) ----2----≤ f -2--

при $xy ≥ 1.$

Без ограничения общности будем полагать $a≥ b≥ c.$ С помощью доказанного выше неравенства получаем

( b+c) f(a)+-f(b)+-f(c)≤ f(a)+2f--2-- 3 3

Из условия следует, что $a≥ 1$ и $b+c≥ √bc≥ 1. 2$ Тогда

f′′(x)= 2(1−-x2) (1+ x2)2

Тогда на промежутке $[1,+ ∞)$ функция $f(x)$ вогнута (выпукла вниз), поэтому по неравенству Йенсена имеем

(b+c) ( ) ( ) f(a)+-2f--2--≤ f a+-2b+c2- = f a+b+-c- 3 3 3

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse