Неравенство Йенсена

Подсказка 1

Попробуем применить неравенство Йенсена. Какую функцию можно было бы применить?

Подсказка 2

Верно, попробуем применить функцию f(x) = ln(1+²). В терминах этой функции после логарифмирования неравенство принимает достаточно простой вид. А на каком промежутке наша функция выпукла?

Подсказка 3

Верно, на промежутке x ≥ 1. Среди наших чисел могут появиться меньшие 1, поэтому напрямую неравенство Йенсена применить нельзя. А можно ли как-то получить аргументы заведомо не меньшие 1.

Подсказка 4

Упорядочим переменные a ≥ b ≥ c. Ясно, что a ≥ 1 и bc ≥ 1. Тогда легко видеть, что (b + c)/2 ≥ 1. Возникает гипотеза: выполняется неравенство (f(x) + f(y))/2 ≤ f((x+y)/2) при xy ≥ 1. Как его доказать?

Подсказка 5

Верно! Можно избавиться от логарифмов, и в получившемся неравенстве раскрыть скобки и выделить в левой части полные квадраты для (xy - 1) и (x + y), а затем применить неравенство Коши и снова преобразовать, раскрыв скобки. Итак, выполняется неравенство (f(x) + f(y))/2 ≤ f((x+y)/2), а доказать мы хотим (f(a) + f(b) + f(c))/3 ≤ f((a+b+c)/3). Попробуем применить доказанное неравенство и объединить два слагаемых числителя в левой части! Что получится?

Подсказка 6

Верно! Получится, что нужно доказать (f(a) + 2f((b+c)/2))/3 ≤ f((a+b+c)/3). Можно ли теперь применить неравенство Йенсена?