Неравенство Йенсена
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что для любых положительных 
выполнено
Источники:
Подсказка 1
Попробуем каждое слагаемое левой части оценить так, чтобы в числителе стоял числитель данной дроби в некоторой степени, а в знаменателе — сумма переменных в тех же степенях, что и числитель. Тогда в результате, когда мы сложим неравенства, все сократится, и неравенство будет доказано. Какие степени подойдут?
Подсказка 2
Верно! Попробуем степень 4/3. Как доказать, что каждое слагаемое не меньше, чем его числитель в степени 4/3, деленный на сумму a, b и c в степенях 4/3?
Подсказка 3
Ясно, что достаточно доказать это только для первой дроби. Преобразуем доказываемое неравенство так, чтобы в нем не осталось корней и знаменателей. Тогда в нем появится квадрат суммы a, b и c в степенях 4/3. Вычтем из него a в степени 8/3. Какое неравенство можно получить для этой разности, просто используя неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом?
Подсказка 4
Верно! Получилось почти то, что нужно. Если теперь мы вспомним, что оценивали разность, то что получится, если просто перенести a в степени 8/3 в другую сторону?
Первое решение.
Без ограничения общности можно полагать, что 
поскольку при 
каждую дробь можно сократить 
и доказывать неравенство для чисел 
и 
Функция 
выпукла, поэтому по неравенству Йенсена
имеем
При этом 
определяется равенством
Тогда остается доказать, что 
Поскольку 
можно доказать, что
Это неравенство нетрудно привести к виду
Истинность последнего неравенства очевидна, поэтому доказательство завершено.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
Для начала покажем, что 
Это неравенство эквивалентно 
По неравенству о
среднем арифметическом и среднем геометрическом
Таким образом,
Итак, имеем неравенство
Аналогичным образом получаем еще и неравенства 
и 
Складываем эти
неравенства и получаем требуемое неравенство
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
