Тема ИТМО (Открытка)

Последовательности и прогрессии на ИТМО

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела итмо (открытка)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#126962Максимум баллов за задание: 7

Медиана пятёрки чисел, это среднее по величине из них, то есть если $a≤ b≤c≤ d≤ e$ равна числу $c.$ Последовательность $a n$ задана начальными условиями $a1 = 1,a2 =3,a3 = 5,a4 = 7,a5 =9.$ Каждый следующий член последовательности — это медиана пяти предыдущих, увеличенная на 1.

Найдите $a500$ .

Источники: ИТМО - 2025, 10.1 ( см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вычислите первые 15-20 членов последовательности вручную. Какой паттерн изменения значений вы замечаете? Обратите внимание на повторяющиеся группы чисел.

Подсказка 2

Начиная с а₁₀, последовательность следует правилу "три одинаковых числа, затем увеличение на 1" (докажите это!) Как это помогает вывести рекуррентную формулу?

Посдказка 3

Для n > 8 верно а(n+3)= а(n)+ 1. Как использовать это, чтобы найти а₅₀₀?

Показать ответ и решение

Посчитаем вручную несколько следующих членов: $a =6,a = 7, 6 7$ $a =8,a = 8,a = 9,a = 9, 8 9 10 11$ $a = 9,a =10, 12 13$ $a =10,a =10, 14 15$ $a16 = 11,a17 = 11,$ $a18 = 11,a19 = 12.$

Заметим, что, начиная с $a10,$ каждый член последовательности повторяется 3 раза подряд, а после этого также три раза подряд идёт это число, увеличенное на 1. Получается, что с некоторого места верно $an+3 = an+ 1.$ Докажем при помощи метода математической индукции, что пятерка членов последовательности $an,an+1,an+2,an+3,an+4$ имеет один из следующих видов:

1.: $x,x,x+1,x+ 1,x +1$
2.: $x,x+ 1,x +1,x+ 1,x+ 2$
3.: $x,x,x,x+ 1,x+ 1$

Первый вариант будет базой индукции при $n =8.$ Медианой в нем является $x+ 1,$ значит, следующий элемент последовательности — $an+5 = x+ 2.$ Мы получаем пятёрку $x,x+1,x+ 1,x +1,x+ 2,$ начинающуюся с $an+1$ и имеющую вид 2. Во втором случае медианой пятёрки также является $x+ 1,$ тогда $an+5 = x+ 2,$ получим пятерку $x+ 1,x+1,x+ 1,x +2,x+ 2,$ начинающуюся с $an+1$ и имеющую вид 3. В третьем случае медианой является $x,$ тогда $an+5 = x+1,$ получим пятерку $x,x,x+ 1,x +1,x+ 1,$ начинающуюся с $an+1$ и имеющую вид 1.

Формула $a = an +1 n+3$ доказана для $n ≥8,$ воспользуемся ей:

492- a500 = a497+ 1= a494+ 2= ...= a8+ 3 = 8+164= 172

Ответ:

172

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#91147Максимум баллов за задание: 7

Последовательность ${a } n$ задана рекуррентным соотношением

an = an−1 +an−2− an−3+3

и начальными условиями $a0 = 1,a2 =5.$ Чему может быть равно $a6?$

Источники: ИТМО-2024, 11.2 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что первое хочется сделать, увидев рекуррентную формулу? Попробовать подставить что-то вместо n. Например, взять n-1 и посмотреть, что получится. В задаче же у нас спрашивают про чётный член. Тогда в теории надо как-то избавиться от членов вида n-1 и n-3 в формуле. Посмотрев на формулы для n и n-1, что можно попробовать сделать?

Подсказка 2

Давайте сложим две формулы, тогда останутся только члены с номерами n, n-2 и n-4. Теперь, записав полученное выражение как разность членов n, n-2 и n-2, n-4, можем найти формулу для разности 2k и 2(k-1) члена, через суммирование таких выражений. Как же теперь можно найти формулу для 2k-ого члена?

Подсказка 3

Верно, сложим аналогично выражения для всех k от 1 до 3. Тогда слагаемые буду сокращаться и мы сможем выразить 6-ый член. Победа!

Показать ответ и решение

Перепишем рекуррентную формулу:

an− an−2 =an−1− an−3+3

Записав её для $n − 1$ вместо $n,$ получим

an−1 − an−3 = an−2− an−4 +3,

откуда

an− an−2 =an−2− an−4+6

Поскольку $a2− a0 =4,$ то

a2i− a2(i− 1) = 4+ 6(i− 1)

Значит,

a = 1+∑3 (4+ 6(i− 1)) =1+ 3⋅4+ 3⋅3(3− 1)= 31 6 i=1

Ответ: 31

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#136045Максимум баллов за задание: 7

${a } n$ и ${b} n$ — возрастающие целочисленные арифметические прогрессии, $a = b= 1 1 2$ и $a + ...+ a = b +...+b . 1 2n+1 1 2n+1$ Какое наименьшее значение может принимать $a2n+1?$

Источники: ИТМО - 2024, 10.1 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В условии Вам в прямом виде дают свойство суммы первых 2n+1 членов каждой прогрессии. Вероятно, подсчет этой суммы в том или ином виде продвинет решение.

Подсказка 2

Введите разности прогрессий aₙ и bₙ. Попробуйте связать их неким равенством.

Подсказка 3

Основываясь на свойствах делимости и том, что нам необходимо наименьшее значение, найдите минимальное значение разности aₙ.

Показать ответ и решение

Посчитаем, чему равна сумма первых $(2n +1)$ членов. Мы можем симметрично расписать члены арифметической прогрессии, тогда сумма нечётного числа членов равна количеству членов, умноженному на средний член:

a1 +...+ a2n+1 = (2n+ 1)an+1,

аналогично для $bn.$ Поскольку суммы прогрессий равны, $an+1 =bn+1.$

Пусть $c$ — разность прогрессии $a , n$ тогда

an+1− a1 =nc

Пусть $d$ — разность прогрессии $bn,$ тогда с другой стороны,

a − a = b − b = (n − 1)d n+1 1 n+1 2

Значит,

nc =(n− 1)d.

Так как $n− 1$ и $n$ взаимно просты, $c$ делится на $n− 1,$ а $d$ делится на $n.$ Наименьшее возможное значение $c$ равно $n− 1,$ а значит, наименьшее возможное значение

a2n+1 = 1+ 2n(n− 1)

Ответ:

$1+ 2n(n − 1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#85174Максимум баллов за задание: 7

Сумма первых шести членов арифметической прогрессии ${a } n$ равна сумме следующих четырех членов. Найдите $a16- a1 .$

Показать ответ и решение

Пусть $d$ — разность прогрессии. Тогда $a = a + (n − 1)d, n 1$ в частности $a =a + 15d 16 1$ . Тогда сумма первых шести членов прогрессии равна

6a1+ (1+2 +3+ 4+ 5)d= 6a1+ 15d,

а сумма следующих четырёх равна

4a1+(6+ 7+ 8+9)d= 4a1 +30d.

По условию эти суммы равны:

6a1+ 15d= 4a1+ 30d

2a1 = 15d

Подставим в искомое выражение

a16-= a1-+15d= 1+ 15d= 1+ 2a1= 3 a1 a1 a1 a1

Замечание.

При сокращении мы воспользовались тем, что $a1 ⁄=0,$ хотя в условии олимпиады ИТМО-2020 этого (или равносильного этому условия о том, чтобы прогрессия была не постоянной) дано не было. Судя по всему, предполагалось, что искомое отношение определено и задумываться о таком не надо было.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#97897Максимум баллов за задание: 7

Последовательность $x n$ задана условиями $x = 5 1 3$ и $x = 4− -3. n+1 xn$ Найдите $x . 100$

Источники: ИТМО - 2020, 11.8 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем подставить первые несколько значений последовательности и проследить закономерность. Как связаны числитель и знаменатель дробей?

Подсказка 2

Правильно, числитель предыдущего члена последовательности является знаменателем следующего. Попробуем обозначить x_n через новую последовательность y_n так, чтобы дробь упрощалась. Как можно выразить x_n через y_n?

Подсказка 3

Подставим это представление в рекуррентное соотношение и посмотрим, как оно упростится. К какой известной последовательности это может привести?

Подсказка 4

Получаем геометрическую прогрессию. Какой у неё знаменатель? Какой вид x_n нам это дает? Выражаем и находим ответ!

Показать ответ и решение

Перебрав несколько первых членов последовательности, можно заметить, что числитель предыдущего является знаменателем следующего.

Определим последовательность $yn$ следующим образом: $y0 = 3,y1 = 5,yn =xnyn−1$ , то есть

yn xn = yn−1-

Подставив это представление $xn$ в рекуррентную формулу, мы получим

yn+1-= 4− 3yn−1- yn yn

y = 4y − 3y n+1 n n−1

Члены последовательности $yn$ имеют вид $3,5,11,29,83,...$ Можно заметить, что разность двух соседних членов каждый раз увеличивается в три раза, что характерно для геометрической прогрессии со знаменателем 3. Значит, имеет смысл искать $yn$ как $3na+ b.$ Можно проверить, что такая любая такая последовательность удовлетворяет рекуррентной формуле. Подставляя начальные значения и решая систему уравнений, находим $a =1$ и $b= 2$ , откуда

xn =-3n+-2- 3n−1+ 2

Ответ:

$3100+2 399+ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#97885Максимум баллов за задание: 7

Бесконечная числовая последовательность ${a } n$ задана формулой $a =[√6n-+ 1] , n 8$ где запись $[x]$ означает целую часть числа $x.$ Сколько раз в этой последовательности встречается число $72?$