Последовательности и прогрессии на ИТМО
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Последовательность 
задана условиями 
и 
Найдите 
Источники:
Подсказка 1
Попробуем подставить первые несколько значений последовательности и проследить закономерность. Как связаны числитель и знаменатель дробей?
Подсказка 2
Правильно, числитель предыдущего члена последовательности является знаменателем следующего. Попробуем обозначить x_n через новую последовательность y_n так, чтобы дробь упрощалась. Как можно выразить x_n через y_n?
Подсказка 3
Подставим это представление в рекуррентное соотношение и посмотрим, как оно упростится. К какой известной последовательности это может привести?
Подсказка 4
Получаем геометрическую прогрессию. Какой у неё знаменатель? Какой вид x_n нам это дает? Выражаем и находим ответ!
Перебрав несколько первых членов последовательности, можно заметить, что числитель предыдущего является знаменателем следующего.
Определим последовательность 
следующим образом: 
, то есть
Подставив это представление 
в рекуррентную формулу, мы получим
Члены последовательности 
имеют вид 
Можно заметить, что разность двух соседних членов каждый раз
увеличивается в три раза, что характерно для геометрической прогрессии со знаменателем 3. Значит, имеет смысл искать 
как 
Можно проверить, что такая любая такая последовательность удовлетворяет рекуррентной формуле. Подставляя начальные значения и
решая систему уравнений, находим 
и 
, откуда
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
