Сложный вариант осеннего тура Турнира Городов

Подсказка 1

Для начала, надо понять, что именно нам нужно доказывать, надо разбить нашу задачу на подзадачи, каждая из которых будет легче данной. Мы видим здесь ортоцентр и центр вписанной окружности. Из свойств ортоцентра, мы знаем, что расстояние от вершины до ортоцентра в два раза больше расстояния от центра описанной окружности до , противоположной этой вершине, стороны. Значит, стоит отметить середину BC и посмотреть, что это даст, учитывая условия задачи.

Подсказка 2

Верно, если середина - это M₁, то OMс=AH/2. А как нам использовать параллельность из условия? Высота из одной точки уже есть, а что такое высота из другой точки? Как это можно использовать?

Подсказка 3

Высота из другой точки - точки I - это точка касания вписанной окружности. Значит, IK₁=OM₁. Но при этом, мы знаем, что OM₁=AH/2, значит 2*IK₁=AH. Где можно на картинке найти удвоенный отрезок IK₁(радиус окружности)? Что это дает?

Подсказка 4

Удвоенный радиус вписанной окружности это, по сути, диаметр вписанной окружности. Значит, удобнее всего здесь отметить на этой окружности точку, диаметрально противоположную K₁ (искушенные читатели знают, что это совсем не простая точка).Пусть это точка D. Что тогда можно сказать про эту точку и точку А? В какой точке пересекает отрезок DA сторону BC? А если провести прямую, параллельную BC и проходящую через D?

Подсказка 5

Если провести такую прямую, то, во-первых, она будет касательной к вписанной окружности. Но при этом для треугольника, который отсекается этой параллельной прямой, эта окружность будет вневписанная. На построение какой окружности тогда намекает такое расположение?

Подсказка 6

Верно! На построение вневписанной окружности, которая касается BC. При этом, пусть AD пересекает BC в точке T₁. У нас есть вписанная и вневписанная окружности. Что принято рассматривать, когда есть две окружности, вписанные в один угол и имеющие две параллельные соответственные касательные?

Подсказка 7

Нужно рассмотреть гомотетию, с центром в точке А, переводящую вписанную окружность во вневписанную. Тогда, так как центр гомотетии, образ и точка лежат на 1 прямой, то выходит, что T₁-точка касания вневписанной окружности стороны BC, так как AD пересекает BC именно в этой точке. Значит, A,D,T₁ лежат на одной прямой! А что это дает? Как связаны точки касания вписанной и вневписанной окружности?

Подсказка 8

Да, CT₁=BK₁ (доказывается через обычный счет отрезков касания). Но при этом, М₁ — середина BC. То есть, от BC с концов отрезали равные отрезки (CT₁ и BK₁) и взяли середину. Значит, T₁M₁=M₁K₁. Так-так… А о чем задача? Ах да, нужно доказать, что AO и HK параллельны. Но при этом, на картинке у нас уже есть две параллельные прямые, которые отличны от тех, что в условии. Какие это прямые?

Подсказка 9

DK₁=AH, по доказанному. При этом, они параллельны. Значит, AHK₁D — параллелограмм. Значит, HK₁ || AD. Но нам же нужно доказать, что HK₁ || AO. Ого! Выходит, нам нужно доказать, что O лежит на прямой AD и задача решена? А равенство отрезков, доказанное ранее в пункте 8, может нам помочь?

Подсказка 10

Ну конечно, может! Только вот как бы это сделать? Хмм… А может быть, угадать эту точку на прямой AD? А вот если рассмотреть середину DT1…

Подсказка 11

Ничего себе! Если соединить середину DT₁ с другой серединой - М₁, то выходит, что этот отрезок будет перпендикулярен BC, при этом, будет равен половине DK₁, то есть, равен IK₁… Так это же отрезок M₁O ! Значит, O-середина DT₁, а значит, лежит на DT₁, а значит, и на AO !