Сложный вариант осеннего тура Турнира Городов

Пусть — треугольник с прямым углом — центр его описанной окружности, и — точки касания вписанной окружности с катетами и соответственно, и — середины дуг и . Достаточно доказать, что точки и лежат на хорде .

Пусть точка — проекция точки на биссектрису угла , точка — проекция точки на биссектрису угла . По Задаче 255 точки и лежат на прямой . Так как , точки и совпадают соответственно с и .

Пусть наша прогрессия а знаменатель Так как — натуральные числа, значит, — рациональное число, пусть где и По условию первый и члены взаимно просты. Значит Так как — натуральное, а то Если то следовательно Теперь ясно, что — получили требуемое.

Первое решение. Пусть точки и будут двигаться линейно из точки в точку и из точки в точку с равными скоростями. Тогда точка — середина отрезка также будет двигаться линейно. Значит, и точка делящая отрезок в отношении к будет двигаться линейно. Следовательно, точка пересечения медиан треугольника движется линейно по некоторой прямой Осталось показать, что Для этого достаточно найти два момента времени, когда точка пересечения медиан лежит на Например, подойдут положения и

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Расположим наш ромб на комплексной плоскости так, чтобы его центр попал в начало отсчета, вершина — в точку вершина — в точку (этого можно добиться с помощью поворота, параллельного переноса и гомотетии). Тогда вершины и попадут на вещественную ось, причем Пусть откуда Аналогично Координата точки пересения медиан треугольника может быть вычислена по формуле Последнее выражение является чисто мнимым, а значит, лежит на прямой

Первое решение.

Пусть — центры окружностей, — их радиусы. Проведём биссектрису угла (она же — биссектриса угла Пусть она пересекает отрезок в точке

Поскольку

то точки принадлежат одной и той же окружности Аполлония точек и Поскольку — серединный перпендикуляр к то равны хорды этой окружности и Значит, равны и опирающиеся на них вписанные углы и откуда немедленно следует равенство углов и

Второе решение.

Сделаем инверсию с центром в точке такую, что первая окружность переходит в равную второй. Вторая, соответственно, перейдёт в равную первой. Тогда, с одной стороны, лучи и перейдут в себя, с другой — мы имеем картинку, симметричную исходной относительно биссектрисы угла а значит, она же биссектриса угла откуда

Пусть — середина стороны , — точка касания вневписанной окружности для треугольника пересекается с в точке Воспользуемся фактом, что на прямой лежит диаметрально противоположная точке точка

Так как из перпендикулярности и хорошо известно, что то — средняя линия и При этом откуда — также средняя линия и параллельна откуда из условия задачи следует, что

В итоге имеем В силу перпендикулярности мы знаем, что Кроме того, по свойству ортоцентра тогда Так что — параллелограмм, поэтому

Замечание.

Равенство можно проверить чисто технически: пусть — высота тогда При этом

Пусть каждый брюнет возьмёт правой рукой левую руку девушки, предназначенной ему первой свахой, а каждая блондинка возьмёт правой рукой левую руку юноши, предназначенного ей второй свахой. При этом образуются хороводы (циклы) и цепочки, которые содержат всех брюнетов, всех блондинок и, возможно, кого-то еще. Цепочки из чётного числа людей и хороводы (там чётное число людей ввиду чередования) разбиваются на пары знакомых, и их можно поженить.

Пусть цепочка состоит из нечётного числа людей и юношей в ней больше, чем девушек. Тогда на её концах стоят юноши и у одного из них свободна правая рука. Значит, он не брюнет, и его можно удалить из цепочки, а оставшихся переженить. Аналогично поступим с цепочкой, в которой больше девушек.

Пусть первоначальная последовательность была Введём новую последовательность посчитаем разность для

Тогда Поскольку то что и требовалось.

(a) Проведем доказательство индукцией по База для тривиальна. Пусть в угольнике с помощью flip-ов можно получить все триангуляции. Докажем это утверждение для угольника. Пусть — наш угольник. Заметим, что проведена хотя бы одна диагональ Иначе, если ни одной такой диагонали не проведено, то найдется диагональ где Рассмотрим диагональ между вершинами с минимальным Тогда между вершинами не проведено ни одной диагонали. Так как то получаем, что наше разбиение многоугольника диагоналями не является триангуляцией — противоречие. Итак, хотя бы одна диагональ проведена между вершинами для некоторого Она отсекает от нашего многоугольника треугольник Весь многоугольник без этого треугольника обозначим (он получается удалением вершины из и ребер, соединенных с ней). Тогда — выпуклый угольник. Любое его разбиение может быть получено flip-ами треугольников в его триангуляции. Вернемся к многоугольнику С помощью нескольких flip-ов можно вместо диагонали получить любую диагональ Если такая диагональ получена, то рассуждения о получении триангуляций с этой диагональю аналогичны рассуждениям с диагональю Таким образом, любая триангуляция получится, поскольку любая триангуляция содержит диагональ между некоторыми вершинами и

(b) Рассмотрим соседние вершины и Обозначим через разбиение, в котором все диагонали выходят из вершины а через — разбиение, в котором все диагонали выходят из Заметим, что в ни одна диагональ не выходит из Поскольку за одну перестройку добавляется не более одной диагонали, выходящей из то для преобразования в требуется не менее перестроек.

(c) Предположим, что мы хотим преобразовать в где и — два произвольных разбиения. Пусть — вершшна, из которой выходит хотя бы одна диагональ — перестройка, определенная в (b). Покажем, что можно преобразовать в добавляя при каждой перестройке по одной диагонали, выходящей из Пусть диагональ ещё не проведена. Тогда её начало принадлежит одному из треугольников разбиения, причем — диагональ. Поэтому к ней с другой стороны прилегает некий треугольник разбиения ( может совпадать с Сделав flip четырёхугольника мы добавим диагональ Итак, для указанного преобразования нужно не более перестроек. Для преобразования в необходимо столько же flip-oв, сколько для обратного преобразования в то есть не более поскольку одна диагональ уже стоит на своём месте.