Базовый вариант весеннего тура Турнира Городов

Первое решение.

Рассмотрим . Проведём касательную в любой точке , кроме вершины. В силу непрерывности (и на самом деле неограниченности) производной найдётся касательная в другой точке , перпендикулярная нашей. Затем отразим всю параболу относительно середины отрезка . Точки пересечения поменяются местами, касательная в точке к исходной параболе перейдёт в параллельную касательную в точке к новой параболе, а касательная в точке к исходной параболе перейдёт в параллельную касательную в точке к новой параболе. Так что к новой параболе касательные останутся перпендикулярны. При этом абсцисса вершины новой параболы будет равна удвоенной абсциссе точки , а не нулю, так что оси симметрии у парабол не совпадают.

Второе решение.

Приведём ещё один конкретный пример: и . Оси парабол различны, а пересекаются они в точках . Возьмём производные . Подставляя и , получаем произведения тангенсов углов наклона касательных в точках пересечения . То есть касательные действительно перпендикулярны в обеих точках при несовпадающих осях.