Базовый вариант весеннего тура Турнира Городов

Первое решение.

Рассмотрим . Проведём касательную в любой точке , кроме вершины. В силу непрерывности (и на самом деле неограниченности) производной найдётся касательная в другой точке , перпендикулярная нашей. Затем отразим всю параболу относительно середины отрезка . Точки пересечения поменяются местами, касательная в точке к исходной параболе перейдёт в параллельную касательную в точке к новой параболе, а касательная в точке к исходной параболе перейдёт в параллельную касательную в точке к новой параболе. Так что к новой параболе касательные останутся перпендикулярны. При этом абсцисса вершины новой параболы будет равна удвоенной абсциссе точки , а не нулю, так что оси симметрии у парабол не совпадают.

Второе решение.

Приведём ещё один конкретный пример: и . Оси парабол различны, а пересекаются они в точках . Возьмём производные . Подставляя и , получаем произведения тангенсов углов наклона касательных в точках пересечения . То есть касательные действительно перпендикулярны в обеих точках при несовпадающих осях.

Обозначим первые слева мест в ряду буквой вторые третьи и четвёртые — и Каждый раз, выбирая детей, будем выстраивать их по убыванию роста. Сделаем это сначала с затем с и, наконец, с После первой перестановки самых низких детей окажутся в куске после второй — в после третьей — в Таким образом, самых низких детей уже расставлены правильно. Снова выполним перестановки и Они расставят в нужном порядке следующих по росту детей в куске Последняя перестановка расставит правильно самых высоких.

Любой такой трёхчлен имеет вид . Заметим, что точка подходит.

Попробуем подобрать пример, исходя из того, что произведение равно Пусть первое число равно а второе — Тогда остальные числа могут быть только (притом количество чётное). Сумма и равна значит сумма единиц должна быть Если взять минус единицы и единиц, то мы получим требуемое.

В каждом многоугольнике разбиения должны быть клетки обоих цветов. Значит, в нём должна быть чёрная клетка, граничащая с белой. Но таких клеток всего 9.

Пример разрезания на 9 многоугольников (для светлой темы):

Здесь 8 многоугольников с 1 чёрной клеткой и 3 белыми, оставшийся многоугольник содержит 17 чёрных клеток и 51 белую.

Оценка. Два нечётных числа не могут стоять рядом, так как они не делятся на свою чётную разность. Поэтому чётных чисел не меньше половины, то есть хотя бы Так как их больше половины, то какие-то два чётных числа стоят рядом. Из этой пары чётных чисел хотя бы одно кратно иначе их разность кратна а сами они нет. Предположим, у нас нет чисел, кратных Тогда, из-за нечётности количества чисел, какие-то два соседних числа дают одинаковые остатки при делении на Эти числа делятся на свою разность, которая кратна Противоречие. Следовательно,

Пример. Числа удовлетворяют условию. Их произведение равно

По формуле суммы арифметической прогрессии

По формуле суммы геометрической прогрессии

Эти суммы могут быть равны при

То есть при получим требуемое в условии (взяв

Пусть написанные на доске числа —

Тогда по условию задачи имеем следующее тождество:

Раскрываем скобки и в левой части группируем отдельно квадраты и удвоенные числа, получаем следующее уравнение:

Суммы квадратов в левой и правой частях взаимно уничтожаются.

Откуда получаем:

В задаче необходимо найти изменение суммы квадратов после прибавления к каждому числу, то есть значение выражения:

Раскроем скобки и сгруппируем отдельно квадраты и учетверенные попарные произведения:

Сумма квадратов взаимноуничтожится, а сумму чисел мы знаем. Подставляем в полученное выражение:

Если число -значно, то Отсюда

Ясно, что (в таком случае не кратно ), значит,

Число (а тем более, частное) не делится ни на ни на (сумма цифр равна ), ни на поэтому единственное возможное частное – Такое частное можно получить например, при

Пусть карманов — , а кошельков — . Тогда по условию в каждом кармане меньше долларов.Значит, всего долларов меньше, чем (пересчитали доллары по всем карманам). Если утверждение “карманов больше, чем долларов в каком-нибудь кошельке” неверно, то верно, что “карманов не больше, чем долларов в любом кошельке”, то есть в каждом кошельке хотя бы долларов. Тогда всего денег, с одной стороны, хотя бы , так как в каждом из кошельков хотя бы долларов. А с другой стороны мы поняли, что всего долларов меньше . Противоречие.

Положим а на остальные места последовательности поставим нули. Тогда среди любых десяти подряд идущих членов последовательности имеется восемь нулей, одна минус единица, и одно число, большее единицы. Значит, их сумма положительна. А сумма первых членов равна

Рассмотрим проекции и векторов и на хорду — середина хорды , поэтому

и — середины хорд и , поэтому

Таким образом, .

Аналогично равны проекции векторов и на хорду . Но вектор полностью определяется своими проекииями на две непараллельные прямые. Поэтому

Поскольку касается прямой то Из параллельности и получаем Тогда а значит, касается

Первое решение.

Построим окружность с центром в точке и радиусом — на ней лежат и . Покажем, что точка также лежит на окружности. Для этого заметим, что градусная мера меньшей дуги равна , а большей — . Точка лежит между и , потому из написанного выше следует, что она лежит на меньшей дуге и вписанный. Отсюда .

Второе решение.

Из равнобедренности . Для с радиусом описанной окружности применим теорему синусов и получим . Заметим, что лежит на серединном перпендикуляре к и удалён от и на расстояние . Но тогда в силу единственности центра описанной окружности он и будет центром (заметим, что он лежит по противоположную от сторону от вершины , ведь тупой). Отсюда .