Базовый вариант весеннего тура Турнира Городов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
По кругу записывают 
натуральных чисел так, чтобы каждые два соседних числа различались на их наибольший
общий делитель. Найдите наибольшее натуральное 
на которое гарантированно будет делиться произведение этих 
чисел.
Источники:
Подсказка 1
Пока что вообще непонятно, как устроены числа. Давайте по порядку. Разберёмся с отдельными группами чисел. Что происходит с нечётными?
Подсказка 2
Осознайте, что два нечётных числа не могут находиться рядом. Что тогда?
Подсказка 3
Чётных чисел хотя бы половина (докажите это). То есть хотя бы 1008. Какой из этого вывод?
Подсказка 4
Существуют два чётных соседних числа. Может ли двойка в оба числа входить в первой степени?
Подсказка 5
Осознайте, что нет (посмотрите на остатки). Тогда N уже хотя бы 2¹⁰⁰⁷ * 4.
Подсказка 6
Докажите, что среди наших чисел либо есть хотя бы одно, кратное 3, либо есть пара соседних с равным остатками по модулю 3. Какой вывод из этого можно сделать?
Подсказка 7
Либо хотя бы одно, либо хотя бы два числа в последовательности делятся на 3. Итого, оценка на N ≥ 3*2¹⁰⁰⁹. Попробуем теперь построить пример?
Подсказка 8
Пример строится путём "подгона" произведения под оценку. Уверены, у вас получится! Успехов!
Оценка. Два нечётных числа не могут стоять рядом, так как они не делятся на свою чётную разность. Поэтому чётных чисел не меньше
половины, то есть хотя бы 
Так как их больше половины, то какие-то два чётных числа стоят рядом. Из этой пары чётных чисел хотя
бы одно кратно 
иначе их разность кратна 
а сами они нет. Предположим, у нас нет чисел, кратных 
Тогда, из-за нечётности
количества чисел, какие-то два соседних числа дают одинаковые остатки при делении на 
Эти числа делятся на свою разность, которая
кратна 
Противоречие. Следовательно, 
Пример. Числа 
удовлетворяют условию. Их произведение равно 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
