24.01 Задачи №24 из банка ФИПИ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Основания 
и 
трапеции 
равны соответственно 4,5 и 18,
Докажите, что треугольники 
и 
подобны.
Источники:
По условию 
и 
— основания трапеции 
Тогда 
Рассмотрим треугольники 
и 
В них:
- 1.
как внутренние накрест лежащие углы, образованные
параллельными прямыми 
и 
и секущей 
- 2.
Следовательно, треугольники 
и 
подобны по двум
пропорциональным сторонам и углу между ними.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
| Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Основания 
и 
трапеции 
равны соответственно 6 и 24, 
Докажите, что треугольники 
и 
подобны.
Источники:
По условию 
и 
— основания трапеции 
Тогда 
Рассмотрим треугольники 
и 
В них:
- 1.
как внутренние накрест лежащие углы, образованные
параллельными прямыми 
и 
и секущей 
- 2.
Следовательно, треугольники 
и 
подобны по двум
пропорциональным сторонам и углу между ними.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
| Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Через точку 
пересечения диагоналей параллелограмма 
проведена прямая, пересекающая стороны 
и 
в
точках 
и 
соответственно. Докажите, что отрезки 
и 
равны.
Источники:
По условию четырехугольник 
— параллелограмм. Значит, его
противоположные стороны параллельны. В частности, 
Рассмотрим треугольники 
и 
- 1.
так как диагонали параллелограмма точкой пересечения
делятся пополам.
- 2.
как вертикальные.
- 3.
как внутренние накрест лежащие углы при
параллельных прямых 
и 
и секущей 
Тогда треугольники 
и 
равны по стороне и двум прилежащим к
ней углам. Значит, 
как соответственные элементы равных
треугольников.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
| Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Через точку 
пересечения диагоналей параллелограмма 
проведена
прямая, пересекающая стороны 
и 
в точках 
и 
соответственно.
Докажите, что отрезки 
и 
равны.
Источники:
По условию четырехугольник 
— параллелограмм. Значит, его
противоположные стороны параллельны. В частности, 
Рассмотрим треугольники 
и 
- 1.
так как диагонали параллелограмма точкой пересечения
делятся пополам.
- 2.
как вертикальные.
- 3.
как внутренние накрест лежащие углы при
параллельных прямых 
и 
и секущей 
Тогда треугольники 
и 
равны по стороне и двум прилежащим
к ней углам. Значит, 
как соответственные элементы равных
треугольников.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
| Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Биссектрисы углов 
и 
параллелограмма 
пересекаются в точке 
лежащей на стороне 
Докажите, что 
— середина 
Источники:
По условию четырехугольник 
— параллелограмм. Значит, его
противоположные стороны равны и параллельны. В частности, 
и
Углы 
и 
равны, так как 
— биссектриса угла 
При
этом 
как внутренние накрест лежащие углы, образованные
параллельными прямыми 
и 
и секущей 
Тогда
Следовательно, треугольник 
— равнобедренный, в котором равны
стороны 
и 
Углы 
и 
равны, так как 
— биссектриса угла 
При
этом 
как внутренние накрест лежащие углы, образованные
параллельными прямыми 
и 
и секущей 
Тогда
Следовательно, треугольник 
— равнобедренный, в котором равны
стороны 
и 
Таким образом,
Итого, 
Тогда точка 
— середина стороны 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
| Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Биссектрисы углов 
и 
параллелограмма 
пересекаются в точке 
лежащей на стороне 
Докажите, что 
— середина 
Источники:
По условию четырехугольник 
— параллелограмм. Значит, его
противоположные стороны равны и параллельны. В частности, 
и
Углы 
и 
равны, так как 
— биссектриса угла 
При
этом 
как внутренние накрест лежащие углы, образованные
параллельными прямыми 
и 
и секущей 
Тогда
Следовательно, треугольник 
— равнобедренный, в котором равны
стороны 
и 
Углы 
и 
равны, так как 
— биссектриса угла 
При
этом 
как внутренние накрест лежащие углы, образованные
параллельными прямыми 
и 
и секущей 
Тогда
Следовательно, треугольник 
— равнобедренный, в котором равны
стороны 
и 
Таким образом,
Итого, 
Тогда точка 
— середина стороны 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
| Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сторона 
параллелограмма 
вдвое больше стороны 
Точка
— середина стороны 
Докажите, что 
— биссектриса угла
Источники:
Пусть 
Тогда 
так как 
по условию в 2 раза
больше, чем 
Так как по условию 
— середина 
то 
Значит,
Рассмотрим треугольник 
В нем стороны 
и 
равны 
следовательно, треугольник 
равнобедренный с основанием 
В
равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому 
Четырехугольник 
— параллелограмм, поэтому его противоположные
стороны параллельны. В частности, 
Тогда 
как
внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых 
и 
и
секущей 
Таким образом,
Значит, 
— биссектриса угла 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
| Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сторона 
параллелограмма 
вдвое больше стороны 
Точка 
— середина стороны 
Докажите, что 
— биссектриса угла
Источники:
Пусть 
Тогда 
так как 
по условию в 2 раза
больше, чем 
Так как по условию 
— середина 
то 
Значит,
Рассмотрим треугольник 
В нем стороны 
и 
равны 
следовательно, треугольник 
равнобедренный с основанием 
В
равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому 
Четырехугольник 
— параллелограмм, поэтому его противоположные
стороны параллельны. В частности, 
Тогда 
как
внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых 
и 
и
секущей 
Таким образом,
Значит, 
— биссектриса угла 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
| Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Биссектрисы углов 
и 
трапеции 
пересекаются в точке 
лежащей
на стороне 
Докажите, что точка 
равноудалена от прямых 
и
Источники:
Проведём 
и 
Рассмотрим прямоугольные треугольники 
и 
В них 
—
общая гипотенуза, 
так как 
— биссектриса 
Следовательно, треугольники 
и 
равны по гипотенузе и
острому углу. Тогда 
как соответственные элементы равных
треугольников.
Рассмотрим прямоугольные треугольники 
и 
В них 
—
общая гипотенуза, 
так как 
— биссектриса 
Следовательно, треугольники 
и 
равны по гипотенузе и
острому углу. Тогда 
как соответственные элементы равных
треугольников.
Получаем, что
Значит, точка 
равноудалена от прямых 
и 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
| Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Биссектрисы углов 
и 
трапеции 
пересекаются в точке 
лежащей
на стороне 
Докажите, что точка 
равноудалена от прямых 
и
Источники:
Проведём 
и 
Рассмотрим прямоугольные треугольники 
и 
В них 
—
общая гипотенуза, 
так как 
— биссектриса 
Следовательно, треугольники 
и 
равны по гипотенузе и
острому углу. Тогда 
как соответственные элементы равных
треугольников.
Рассмотрим прямоугольные треугольники 
и 
В них 
— общая
гипотенуза, 
так как 
— биссектриса 
Следовательно,
треугольники 
и 
равны по гипотенузе и острому углу. Тогда
как соответственные элементы равных треугольников.
Получаем, что
Значит, точка 
равноудалена от прямых 
и 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
| Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На средней линии трапеции 
с основаниями 
и 
выбрали
произвольную точку 
Докажите, что сумма площадей треугольников 
и
равна половине площади трапеции.
Источники:
Пусть точка 
— середина 
точка 
— середина 
Тогда 
и 
— средняя линия трапеции 
Точка 
по условию
лежит на 
Проведем через точку 
высоту 
трапеции 
Тогда 
и
По свойству средней линии трапеции 
и 
Тогда по
теореме Фалеса для параллельных прямых 
и 
Значит, 
Пусть 
Тогда 
Площадь трапеции 
равна
Рассмотрим треугольник 
В нём 
— высота. Тогда
Рассмотрим треугольник 
В нём 
— высота. Тогда
Найдём сумму площадей этих треугольников:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
| Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Внутри параллелограмма 
выбрали произвольную точку 
Докажите,
что сумма площадей треугольников 
и 
равна половине площади
параллелограмма.
Источники:
Проведем высоту параллелограмма 
проходящую через точку 
Тогда
и 
В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому пусть
Пусть 
а 
Тогда 
По формуле площади треугольника
Тогда
С другой стороны, по формуле площади параллелограмма
Значит,
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
| Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точка 
— середина боковой стороны 
трапеции 
Докажите, что
площадь треугольника 
равна половине площади трапеции.
Источники:
Проведем через точку 
прямую 
перпендикулярную основаниям трапеции
Тогда 
и 
По условию 
— середина 
Тогда 
Рассмотрим треугольники 
и 
Они прямоугольные, так
как 
В них 
как вертикальные
углы между прямыми 
и 
При этом 
Таким образом,
прямоугольные треугольники 
и 
равны по острому углу и
гипотенузе. Соответственные элементы равных треугольников равны, поэтому
Пусть 
Тогда
Площадь трапеции 
равна
Рассмотрим треугольник 
Найдем его площадь:
Рассмотрим треугольник 
Найдем его площадь:
Тогда
Тогда
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
| Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В трапеции 
с основаниями 
и 
диагонали пересекаются в точке
Докажите, что площади треугольников 
и 
равны.
Источники:
Опустим высоты 
и 
трапеции 
Рассмотрим треугольники 
и 
В них проведены высоты 
и
соответственно. Так как площадь треугольника равна половине произведения
основания на высоту, то
Заметим, что 
как расстояние между двумя параллельными
прямыми. Значит,
Тогда
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
| Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Известно, что около четырехугольника 
можно описать окружность и что
продолжения сторон 
и 
четырехугольника пересекаются в точке 
Докажите, что треугольники 
и 
подобны.
Источники:
Так как четырёхугольник 
вписан в окружность, то
Тогда
и 
смежные, поэтому
следовательно,
Рассмотрим треугольники 
и 
Так как 
— общий и
то треугольники 
и 
подобны по двум
углам.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
| Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В выпуклом четырёхугольнике 
углы 
и 
равны. Докажите,
что углы 
и 
также равны.
Источники:
По условию четырёхугольник 
— выпуклый. Тогда точки 
и 
лежат
по одну сторону от 
Известно, что 
при этом они опираются
на сторону 
следовательно, около четырёхугольника 
можно описать
окружность.
Тогда 
как вписанные, опирающиеся на дугу 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
| Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В остроугольном треугольнике 
проведены высоты 
и 
Докажите,
что углы 
и 
равны.
Источники:
По условию 
и 
— высоты остроугольного треугольника 
Тогда
Эти углы опираются на отрезок 
следовательно, около четырёхугольника
можно описать окружность.
Тогда 
как вписанные, опирающиеся на одну дугу
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
| Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В остроугольном треугольнике 
проведены высоты 
и 
Докажите,
что углы 
и 
равны.
Источники:
По условию 
и 
— высоты остроугольного треугольника 
Тогда
Эти углы опираются на отрезок 
следовательно, около четырёхугольника
можно описать окружность.
Тогда 
как вписанные, опирающиеся на одну дугу
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
| Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике 
с тупым углом 
проведены высоты 
и 
Докажите, что треугольники 
и 
подобны.
Источники:
По условию 
и 
— высоты тупоугольного треугольника 
Тогда
Рассмотрим четырёхугольник 
В нём углы 
и 
равны и
опираются на один и тот же отрезок 
следовательно, около четырёхугольника
можно описать окружность.
Тогда 
как вписанные, опирающиеся на одну дугу
Углы 
и 
равны как вертикальные. Тогда треугольники 
и 
подобны по двум углам.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
| Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружности с центрами в точках 
и 
пересекаются в точках 
и 
причем точки 
и 
лежат по одну сторону от прямой 
Докажите, что
прямые 
и 
перпендикулярны.
Источники:
Проведём отрезки 
и 
Заметим, что 
как радиусы окружности с центром в точке 
а
как радиусы окружности с центром в точке 
Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
— общая сторона,
и 
Тогда треугольники 
и 
равны по
трём сторонам. Следовательно, 
как соответственные
элементы равных треугольников. Таким образом, 
— биссектриса угла
Пусть 
пересекает 
в точке 
Рассмотрим равнобедренный
треугольник 
В нём биссектриса 
проведённая к основанию, является и
высотой. Значит, 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
| Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
