Окружности —Каталог задач по ОГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#95711

Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $CD,$ если $AB = 14,$ $CD = 48,$ а расстояние от центра окружности до хорды $AB$ равно 24.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $O$ — центр окружности. Проведём $OH ⊥ AB$ и $OM ⊥ CD.$ По условию $OH = 24.$ Также проведём радиусы $OA,$ $OB,$ $OC$ и $OD.$

$OABCDHM77222444$

Рассмотрим треугольник $AOB.$ В нём $OA = OB$ как радиусы окружности, поэтому $△ AOB$ — равнобедренный. По построению $OH$ — его высота, а значит и медиана. Тогда

AH =HB = AB-= 14-= 7. 2 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHO.$ По теореме Пифагора

OA2 = AH2 + OH2 = 72+ 242 = 49+ 576 = 625

Тогда

√ --- OB = OC = OD = OA = 625 = 25.

Рассмотрим треугольник $COD.$ В нём $OC = OD$ как радиусы окружности, поэтому $△ COD$ — равнобедренный. По построению $OM$ — его высота, а значит и медиана. Тогда

CM = MD = CD-= 48-= 24. 2 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник $COM.$ По теореме Пифагора

OC2 = CM2 + OM2.

Значит,

OM2 = OC2 − CM2 = 252− 242 =625 − 576= 49

Тогда

OM = √49= 7.

Следовательно, расстояние от центра $O$ окружности до хорды $CD$ равно 7.

Ответ: 7

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#95712

Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD,$ если $AB =10,$ а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно 12 и 5.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $O$ — центр окружности. Проведём $OH ⊥ AB$ и $OM ⊥ CD.$ По условию $OH = 12$ и $OM = 5.$ Также проведём радиусы $OA,$ $OB,$ $OC$ и $OD.$

$OABCDHM55512$

Рассмотрим треугольник $AOB.$ В нём $OA = OB$ как радиусы окружности, поэтому $△ AOB$ — равнобедренный. $OH$ — его высота, а значит и медиана. Тогда

AH =HB = AB-= 10-= 5. 2 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHO.$ По теореме Пифагора

OA2 = AH2 + OH2 = 52+ 122 =25 +144= 169.

Тогда

√ --- OB = OC = OD = OA = 169 = 13.

Рассмотрим треугольник $COD.$ В нём $OC = OD$ как радиусы окружности, поэтому $△ COD$ — равнобедренный. $OM$ — его высота, а значит и медиана. Тогда $CD = 2CM.$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $COM.$ По теореме Пифагора

2 2 2 OC = CM + OM .

Значит,

2 2 2 2 2 CM = OC − OM = 13 − 5 = 169− 25 = 144.

Тогда

CM = √144= 12.

Следовательно,

CD = 2CM = 2⋅12= 24.

Ответ: 24

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#83028

Точка $H$ является основанием высоты $BH,$ проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC.$ Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $BH,$ если $P K = 14.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Угол $PBK$ вписан в окружность, при этом по условию $∠P BK = 90∘,$ следовательно, он опирается на диаметр $PK.$

$ABCPKH$

По условию $BH$ — диаметр. Диаметры окружности равны, поэтому

BH = PK =14.

Ответ: 14

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#95723

Точка $H$ является основанием высоты $BH,$ проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC.$ Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $P K,$ если $BH = 13.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Угол $PBK$ вписан в окружность, при этом по условию $∠P BK = 90∘,$ следовательно, он опирается на диаметр $PK.$

$ABCPKH$

По условию $BH$ — диаметр. Диаметры окружности равны, поэтому

PK = BH =13.

Ответ: 13

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#95729

Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C.$ Найдите длину отрезка $KP,$ если $AK = 14,$ а сторона $AC$ в 2 раза больше стороны $BC.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как четырёхугольник $KBCP$ вписан в окружность, то

∘ ∠P KB + ∠BCP = 180.

Тогда

∘ ∠BCP = 180 − ∠PKB.

$∠P KB$ и $∠PKA$ смежные, поэтому

∠P KB + ∠P KA = 180∘,

следовательно,

∘ ∠PKA =180 − ∠P KB = ∠BCP.

Рассмотрим треугольники $AP K$ и $ABC.$ Так как $∠BAC$ — общий и $∠AKP = ∠ACB,$ то треугольники $APK$ и $ABC$ подобны по двум углам.

$ABCKP14$

Запишем отношение подобия треугольников $AP K$ и $ABC :$

AK- P-K AC = BC ,

следовательно,

AK- = AC-= 2. PK BC

Значит,

PK = AK- = 14= 7. 2 2

Ответ: 7

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#95733

Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C.$ Найдите длину отрезка $KP,$ если $AP = 21,$ а сторона $BC$ в 1,5 раза меньше стороны $AB.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как четырёхугольник $KBCP$ вписан в окружность, то

∘ ∠KP C + ∠KBC = 180 .

Тогда

∘ ∠KBC =180 − ∠KP C.

$∠KP C$ и $∠KP A$ смежные, поэтому

∠KP C + ∠KP A = 180∘,

следовательно,

∘ ∠KP A= 180 − ∠KP C = ∠KBC.

Рассмотрим треугольники $AP K$ и $ABC.$ Так как $∠BAC$ — общий и $∠AP K = ∠ABC,$ то треугольники $APK$ и $ABC$ подобны по двум углам.

$ABCP2K1$

Запишем отношение подобия треугольников $AP K$ и $ABC :$

AP-= P-K, AB BC

следовательно,

AP- = AB- =1,5. P K BC

Значит,

AP 21 210 P K = 1,5 = 1,5 =-15 = 14.

Ответ: 14

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#95736

Окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B.$ Найдите $AC,$ если диаметр окружности равен 16, а $AB = 15.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $O$ — центр окружности, По условию $O$ лежит на $AC.$ Так как диаметр окружности равен 16, то радиус окружности равен $16-= 8. 2$

Проведём радиус $OB.$ Тогда

OB = OC = 8.

$ABCOx8815$

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $OB ⊥AB.$ Тогда треугольник $ABO$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

2 2 2 AO = AB + BO = = 152+ 82 = 225 +64 = 289

Значит,

AO = √289-= 17.

Тогда

AC = AO + OC = 17+ 8= 23.

Ответ: 23

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#95739

Окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B.$ Найдите диаметр окружности, если $AB =1,$ $AC = 5.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть окружность пересекает отрезок $AC$ второй раз в точке $D.$ По условию центр данной окружности лежит на $AC,$ поэтому он лежит на $CD.$

Таким образом, хорда $CD$ проходит через центр окружности, следовательно, является её диаметром. Значит, нам нужно найти $CD.$

Пусть $CD = x.$ Тогда

AD =AC − CD = 5− x.

$ABCD5−xx1$

Квадрат касательной $AB$ к окружности равен произведению секущей $AC$ на её внешнюю часть $AD,$ поэтому

2 AB = AC ⋅AD 12 =5 ⋅(5 − x) 1= 25− 5x 5x =24 x = 4,8

Таким образом, диаметр окружности равен 4,8.

Ответ: 4,8

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

23.05 Окружности