Тема Звезда (только часть с задачами по математике)

Логарифмы на Звезде

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела звезда (только часть с задачами по математике)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#125073

Решите неравенство

∘ ------- ||∘ ------- || 9 2− log2 x− 2 |4log2x− 7|≤9 log2x− 2|4 2− log2 x− 7|

Источники: Звезда - 2025, 11.1 ( см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала посмотрим на выражения в обеих частях, а также на коэффициенты при них. Вообще, можно заметить, что они имеют похожий вид, в частности, можно поменять местами выражения с модулями (левое перенести в правую часть, правое - в левую, не забыв поменять знаки). Что тогда можно сказать о выражениях в обеих частях? Чем они похожи, как можно обобщить?

Подсказка 2

Видно, что обе части можно выразить через функцию от переменных sqrt(2 - log₂x) и log₂x. Тогда у нас получится неравенство для значений функции при разных аргументах. Что можно сказать о самой функции?

Подсказка 3

Нетрудно доказать, что функция монотонна и возрастающая, поэтому неравенство на значениях равносильно неравенству на аргументах. Оно уже решается гораздо легче, главное — не забыть про ограничения!

Показать ответ и решение

Перепишем неравенство в виде

∘ ------- ∘------- 9 2− log2x+ 2|4 2 − log2x − 7|≤ 9log2x+ 2|4log2x − 7|

Пусть $f(t)=9t+ 2|4t− 7|.$ Тогда неравенство принимает вид:

∘------- f( 2− log2x)≤ f(log2x)

Заметим, что функция $f$ возрастающая, так как при любом раскрывании модуля угловой коэффициент получаемой линейной функции положителен. Следовательно, исходное неравенство равносильно

∘2-−-log-x≤ log x 2 2

Для решения полученного неравенства выпишем систему

(|{ 2− log2 x≥ 0 log2x≥ 0 |( 2− log2 x≤ log22x

В последнем неравенстве сделаем замену $z = log2x,$ получим

z2+ z− 2≥ 0

(z− 1)(z+2)≥ 0

z ∈ (− ∞,−2]∪[1,+ ∞)

Учитывая первые два неравенства из системы, получаем, что $log x∈[1;2]. 2$ Отсюда $x∈ [2;4].$

Ответ:

$[2;4]$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#83741

Решите систему

(| log3x⋅log4y 1 ||||| log2(xy) = 3 ||{ log3y⋅log25z 3 || --log5(yz)- = 5 ||||| log z⋅logx |( --l27og16(zx2)- = 1

Источники: Звезда - 2024, 11.2 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, от дробей здесь нет пользы, они только пугают. Может, избавится от них? Только не забудьте про ОДЗ!

Подсказка 2

Получается как-то очень много одинаковых логарифмов. Когда много одинакового, то на помощь приходит замена.

Подсказка 3

Система из трёх не очень страшных уравнений, можно и подстановкой попробовать решить. Но не забывайте проверять решения на ОДЗ!

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| x> 0 ||||| y > 0 |||{ | z > 0 ||||| xy ⁄= 1 |||( yz ⁄= 1 zx⁄= 1

Преобразуем систему к виду

(|| 3log x⋅log y = 2log (xy) |{ 3 2 2 ||| 5log3y⋅log5z = 6log5(yz) ( 4log3z⋅log2x= 3log2(zx)

Используем формулу перехода к новому основанию и формулу логарифма произведения

( |||| 3log3x ⋅ lologg3y2 = 2loglo3g(xy2) ||||{ 3 3 5log3y⋅ log3z= 6log3(yz) ||||| log35 log35 |||( 4log3z⋅ log3x= 3log3(zx) log32 log32

(|| 3log x⋅log y = 2log (xy) |{ 3 3 3 ||| 5log3y⋅log3z = 6log3(yz) ( 4log3z⋅log3x= 3log3(zx)

( |||{ 3log3 x⋅log3y = 2log3x+ log3y | 5log3 y⋅log3z = 6log3y+ log3z ||( 4log3 z⋅log3x= 3log3z+ log3x

Сделаем замену: $log3x= u,log3y = v,log3z =t,$ получаем систему

( |{ 3u⋅v = 2(u+v) | 5v⋅t= 6(v+ t) ( 4t⋅u= 3(u +t)

Из первого уравнения системы выразим

v = -2u-- 3u− 2

Из третьего уравнения выразим

-3u-- t= 4u − 3

Подставим во второе уравнение системы, получим после преобразований уравнение

u2− u =0

При $u =0$ получаем $v = t= 0,$ но соответствующие значения $x,y,z$ не удовлетворяют ОДЗ. При $u =1$ получаем $v = 2,t=3,$ следовательно, $x= 3,y =9,z = 27.$