Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Логарифмы на Звезде

Тема Звезда (только часть по математике)

Логарифмы на Звезде

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела звезда (только часть по математике)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#83741

Решите систему

(| log3x⋅log4y 1 ||||| log2(xy) = 3 ||{ log3y⋅log25z 3 || --log5(yz)- = 5 ||||| log z⋅logx |( --l27og16(zx2)- = 1

Источники: Звезда - 2024, 11.2 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, от дробей здесь нет пользы, они только пугают. Может, избавится от них? Только не забудьте про ОДЗ!

Подсказка 2

Получается как-то очень много одинаковых логарифмов. Когда много одинакового, то на помощь приходит замена.

Подсказка 3

Система из трёх не очень страшных уравнений, можно и подстановкой попробовать решить. Но не забывайте проверять решения на ОДЗ!

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| x> 0 ||||| y > 0 |||{ | z > 0 ||||| xy ⁄= 1 |||( yz ⁄= 1 zx⁄= 1

Преобразуем систему к виду

(|| 3log x⋅log y = 2log (xy) |{ 3 2 2 ||| 5log3y⋅log5z = 6log5(yz) ( 4log3z⋅log2x= 3log2(zx)

Используем формулу перехода к новому основанию и формулу логарифма произведения

( |||| 3log3x ⋅ lologg3y2 = 2loglo3g(xy2) ||||{ 3 3 5log3y⋅ log3z= 6log3(yz) ||||| log35 log35 |||( 4log3z⋅ log3x= 3log3(zx) log32 log32

(|| 3log x⋅log y = 2log (xy) |{ 3 3 3 ||| 5log3y⋅log3z = 6log3(yz) ( 4log3z⋅log3x= 3log3(zx)

( |||{ 3log3 x⋅log3y = 2log3x+ log3y | 5log3 y⋅log3z = 6log3y+ log3z ||( 4log3 z⋅log3x= 3log3z+ log3x

Сделаем замену: $log3x= u,log3y = v,log3z =t,$ получаем систему

( |{ 3u⋅v = 2(u+v) | 5v⋅t= 6(v+ t) ( 4t⋅u= 3(u +t)

Из первого уравнения системы выразим

v = -2u-- 3u− 2

Из третьего уравнения выразим

-3u-- t= 4u − 3

Подставим во второе уравнение системы, получим после преобразований уравнение

u2− u =0

При $u =0$ получаем $v = t= 0,$ но соответствующие значения $x,y,z$ не удовлетворяют ОДЗ. При $u =1$ получаем $v = 2,t=3,$ следовательно, $x= 3,y =9,z = 27.$

Ответ:

$(3,9,27)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел