18.03 Задачи формата ЕГЭ

Сделаем замену Тогда имеем:

Следовательно, уравнение равносильно

Так как замена линейная, то исходное уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда уравнение с заменой имеет единственное решение.

Функция является четной и уравнение имеет вид . Следовательно, если это уравнение имеет решение , то оно имеет также решение . Значит, количество решений уравнения будет четным, если среди решений нет , и нечетным, если среди решений уравнения есть . Так как нам требуется, чтобы уравнение имело единственное решение, что является нечетным количеством, то — решение уравнения.

1.

Найдем, при каких число является решением уравнения:

2.

Проверим, является ли единственным корнем уравнения при найденных или уравнение имеет другие корни. Для этого заметим, что если мы определим хотя бы один корень , то найденные значения параметра нам не подойдут. Если же мы докажем, что других корней нет, то найденные нам подходят.

Итак, при уравнение имеет вид

Следовательно, нам подходит.

При уравнение имеет вид

Левая часть уравнения , а правая часть уравнения Следовательно, по методу оценки равенство возможно тогда и только тогда, когда обе части равны нулю:

Следовательно, нам подходит.

При уравнение имеет вид

Рассмотрим функции

Сравним значения функций в точках и 1.

Тогда имеем:

Так как функции непрерывны на всей области определения, то существует при котором то есть является корнем уравнения. Следовательно, уравнение имеет как минимум три корня, значит, нам не подходит.