Тема 18. Задачи с параметром

18.03 Задачи формата ЕГЭ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31650

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

2 2 3 2π (x− 1) + 4acos(2πx)− 9a = 0

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Сделаем замену $x− 1= t.$ Тогда имеем:

2πx= 2πt+ 2π, cos(2πt+ 2π)= cos(2πt)

Следовательно, уравнение равносильно

2 2 3 2π t +4a cos(2πt)− 9a = 0

Так как замена линейная, то исходное уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда уравнение с заменой имеет единственное решение.

Функция $f(t)= 2π2t2+4a cos(2πt)− 9a3$ является четной и уравнение имеет вид $f(t)= 0$ . Следовательно, если это уравнение имеет решение $t0 ≥ 0$ , то оно имеет также решение $− t0 ≤ 0$ . Значит, количество решений уравнения будет четным, если среди решений нет $t= 0$ , и нечетным, если среди решений уравнения есть $t= 0$ . Так как нам требуется, чтобы уравнение имело единственное решение, что является нечетным количеством, то $t= 0$ — решение уравнения.

1.

Найдем, при каких $a$ число $t= 0$ является решением уравнения:

2 4acos0− 9a3 =0 ⇔ a= 0;±3

2.

Проверим, является ли $t= 0$ единственным корнем уравнения при найденных $a$ или уравнение имеет другие корни. Для этого заметим, что если мы определим хотя бы один корень $t1 ⁄= 0$ , то найденные значения параметра нам не подойдут. Если же мы докажем, что других корней нет, то найденные $a$ нам подходят.

Итак, при $a = 0$ уравнение имеет вид

2π2t2 = 0 ⇔ t =0

Следовательно, $a= 0$ нам подходит.

При $2 a= −3$ уравнение имеет вид

2π2t2 = 8cos(2πt)− 8 ⇔ 2π2t2 = 8(cos(2πt)− 1) 3 3 3

Левая часть уравнения $2 2 2π t ≥ 0$ , а правая часть уравнения $8 3 (cos(2πt)− 1)≤ 0.$ Следовательно, по методу оценки равенство возможно тогда и только тогда, когда обе части равны нулю:

( |{2π2t2 = 0 ⇔ t= 0 |(cos(2πt)= 1

Следовательно, $a= − 2 3$ нам подходит.

При $a= 23$ уравнение имеет вид

2π2t2 = 8(1− cos(2πt)) 3

Рассмотрим функции

g1(t)= 2π2t2, g2(t)= 8(1− cos(2πt)) 3

Сравним значения функций в точках $1 2$ и 1.

Тогда имеем:

( ) ( ) 1 π2 3,22- 1 16 1 g1 2 = 2 < 2 = 5,12< 53 = 3 = g2 2 2 g1(1) = 2π > 0= g2(1)

Так как функции непрерывны на всей области определения, то существует $( ) t0 ∈ 12;1 ,$ при котором $g1(t0) =g2(t0),$ то есть $t0 ⁄= 0$ является корнем уравнения. Следовательно, уравнение имеет как минимум три корня, значит, $a= 2 3$ нам не подходит.

Ответ:

${ 2 } a ∈ −3;0$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#60666

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

2 2 x − |x − a +6|= |x+ a− 6|− (6− a)

имеет единственное решение или не имеет решений.

Показать ответ и решение

Пусть $a− 6= b.$ Тогда уравнение примет вид

2 2 x + b = |x− b|+ |x+ b|

Рассмотрим и исследуем две функции:

2 2 f (x)= x + b , g(x)= |x − b|+ |x + b|

Графиком функции $y = f(x)$ является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0;f(0)).$ Следовательно, $x= 0$ является точкой минимума и наименьшее значение функции $f(x)$ равно

2 fmin = f(0)= b

Тогда график функции $y = f(x)$ выглядит следующим образом. При этом заметим, что он при всех $b ∈ℝ$ находится в верхней полуплоскости, а также в силу четности функции $f(x)$ симметричен относительно оси $Oy :$

$xyyb =2 f(x)$

Функция $y = g(x)$ также четная. Ее графиком является корыто, правая ветвь которого задается уравнением $y = 2x,$ дно корыта протяженностью от $x =− |b|$ до $x= |b|$ и высотой $g(0)= 2|b|.$ Следовательно,

gmin = g(0)= 2|b|

Тогда получаем график, который при всех $b∈ℝ$ находится в верхней полуплоскости и симметричен относительно оси $Oy :$

$xyy2−|b =|b|||b|g(x)$

Единственное решение уравнение $f(x)= g(x)$ будет иметь, если $f(0)= g(0).$ В свою очередь, уравнение не имеет решений при $f(0)> g(0),$ если при этом правая ветвь графика функции $f(x)$ не пересекается с правой ветвью графика функции $g(x).$

f(0)≥ g(0) ⇒ b2 ≥ 2|b| [ |b|⋅(|b|− 2)≥ 0 ⇔ |b|= 0 |b|≥ 2

Проверим, действительно ли при найденных значениях $b$ правая ветвь графика функции $f (x)$ не пересекается с правой ветвью графика функции $g(x).$

Если $b = 0,$ то графики обеих функций выглядят так:

$xyyy = = gf((xx))$

Тогда исходное уравнение имеет три решения и принимает вид

2 x = 2|x|

Следовательно, $b= 0$ нам не подходит.

При $|b|≥ 2$ правая ветвь корыта имеет уравнение $y = 2x$ при $x ≥ |b|$ и действительно выполнено

x2+ b2− 2x> 0 ⇔ x(x− 2)+ b2 >0

Последнее неравенство выаполняется, так как имеют место оценки

{ x − 2 ≥ |b|− 2 ≥ 2− 2 b2 ≥ 4

Следовательно, $x2+ b2 > 2x$ при $x ≥|b|$ и $|b|≥2.$ Значит, правая ветвь параболы выше правой ветви корыта, а в силу симметрии обоих графиков относительно оси $Oy$ и левая ветвь параболы выше левой ветви корыта. То есть при $|b|≥ 2$ графики выглядят следующим образом:

$xyyy−|b==|b||g(fx(x))$

Тогда исходное уравнение имеет единственное решение или не имеет решений при

[ a ≤ 4 |b|≥ 2 ⇒ |a − 6|≥ 2 ⇔ a ≥ 8

Ответ:

$a ∈(−∞; 4]∪[8;+ ∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получено множество значений $a,$ отличающееся от искомого конечным числом точек	3

С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений $a$	2

Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений $a$	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#85016

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

( ) (ax2− 4x)2+ 1a2− a +4 (ax2 − 4x)− 1a2(a− 4)= 0 2 2

имеет ровно два различных решения

Показать ответ и решение

Сделаем замену $y = ax2− 4x.$ Тогда уравнение примет вид

( ) y2+ 1a2− a +4 y− 1a2(a− 4)= 0 2 2

Если это уравнение имеет корни, то по теореме Виета сумма и произведение этих корней равны

( ||{∑ = y1 +y2 =a − 4 − 1a2 2 ||(Π = y1y2 = − 1a2(a− 4) 2

Нам подходят числа

⌊ y1 = − 1a2 |⌈ 2 y2 = a − 4

Следовательно, получаем, что исходное уравнение равносильно

⌊ax2− 4x+ 0,5a2 = 0 ⌈ ax2− 4x− a +4 = 0

Эти уравнения линейные при $a = 0$ и квадратные при $a ⁄= 0.$ Следовательно, рассмотрим два случая.

1.

$a= 0.$ Тогда совокупность равносильна

⌊−4x= 0 ⌈ −4x+ 4 =0

Она имеет два решения. Следовательно, $a= 0$ нам подходит.

2.

$a⁄= 0.$ Рассмотрим дискриминанты первого и второго уравнений соответственно:

D = 2(8− a3) 1 D2 = 4(a− 2)2

Рассмотрим по отдельности некоторые случаи в зависимости от того, равен нулю, меньше или больше нуля каждый дискриминант.

2.1.: $a> 2 ⇒ D1 < 0,D2 > 0.$ Следовательно, совокупность имеет два решения. Это нам подходит.
2.2.: $a= 2 ⇒ D = D = 0. 1 2$ Тогда каждое уравнение имеет по одному корню. Но эти корни совпадают и равны $1,$ следовательно, это значение параметра нам не подходит.
2.3.: $a< 2,a ⁄= 0 ⇒ D1 > 0,D2 > 0.$ Этот случай нам может подходить только тогда, когда множества корней первого и второго уравнений совпадают. Это выполнено, если уравнения одинаковы, то есть если $1a2 = 4− a ⇔ a = −4;2 2$
Нам подходит только $a= −4.$

Итоговый ответ

a∈ {−4;0}∪(2;+∞ )

Ответ:

$a ∈{− 4;0}∪ (2;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#85017

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых участок графика функции $1-- y = 16x + 16a$ при $( 3 1) x ∈ − 2;− 2$ находится строго выше аналогичного участка графика функции $y = a-+ 42−x. 4x$

Показать ответ и решение

Условие задачи равносильно следующему условию: найти $a,$ при которых неравенство

-1- a- 2−x 16x +16a> 4x + 4

верно при всех $( 3 1) x ∈ − 2;− 2 .$

Следаем замену $1- y = 4x.$ Тогда неравенство равносильно

2 y − (a+ 16)y+ 16a> 0 ⇔ (y− 16)(y − a) >0

Получили квадратичное неравенство, решение которого зависит от того, где расположено число $a$ на вещественной прямой. Рассмотрим случаи:

1.

$a≤ 0.$ Тогда неравенство равносильно

⌊ ⌊ y < a 4−x < a≤ 0 ⌈ ⇒ ⌈ −x ⇔ x< −2 y > 16 4 > 16

Множество $(−∞; −2)$ не содержит в себе интервал $( ) − 3;− 1 , 2 2$ следовательно, этот случай нам не подходит.

2.

$0< a≤ 16.$ Тогда неравенство равносильно

⌊ ⌊ −x ⌊ ⌈y < a ⇒ ⌈4 < a ⇒ ⌈x> − log4a y > 16 4−x > 16 x< − 2

Множество $(−∞; −2)∪(− log a;+∞ ) 4$ содержит интервал $( 3 1) − 2;−2 ,$ если

− 3 ≥ − log4 a ⇔ a≥ 8 2

Следовательно, в этом случае нам подходят $8 ≤a ≤ 16.$

3.

$a> 16.$ Тогда неравенство примет вид

⌊ ⌊ −x ⌊ ⌈y < 16 ⇒ ⌈4 < 16 ⇒ ⌈x> − 2 y > a 4−x > a x< − log4a

Множество $(−∞; − log4a)∪ (− 2;+ ∞)$ содержит интервал $( ) 3 1 − 2;− 2$ при всех $a >16.$

Итоговый ответ

a∈ [8;+∞ )

Ответ:

$a ∈[8;+ ∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#85018

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

-5a-⋅7|x| = 49|x|+ 6a+-7 a− 3 a − 3

имеет ровно два различных решения.

Показать ответ и решение

Пусть $y = 7|x|.$ Исследуем новую переменную. Если $y < 1,$ то уравнение $y =7|x|$ не имеет решений, так как $|x|≥ 0,$ следовательно, $|x| 7 ≥ 1.$ При $y = 1$ это уравнение имеет единственный корень $x = 0,$ при $y > 1$ оно имеет два решения.

Рассмотрим исходное уравнение после этой замены. При $a⁄= 3$ оно равносильно

f(x)= (a− 3)y2− 5ay +(6a+ 7)= 0

Это уравнение квадратное. Найдем его дискриминант:

D = (a+ 2)(a +42)

Чтобы выполнялось условие задачи, нужно, чтобы один корень был больше 1, а второй либо не существовал, либо был меньше 1.

1.: $D = 0 ⇔ a= −42;−2.$ Тогда единственный корень уравнения $y0 =--5a--- 2(a− 3)$
При $a= − 42$ имеем $y0 = 21> 1 9$ — подходит. При $a= −2$ имеем $y0 = 1$ — не подходит.
2.: $D > 0 ⇔ a< −42$ или $a > −2$ (при $a⁄= 3$ ). Тогда парабола $f(x)$ должна задаваться одним из следующих способов:

$1$ $1$

Эти графики и положения точки 1 задаются следующими условиями:
$⌊ ( {a− 3 >0 || ( || (f(1)< 0 ⇔ (a− 3)f(1)< 0 ⇔ − 2< a< 3 ||⌈ {a− 3 <0 ( f(1)> 0$

Следовательно, итоговый ответ

a∈ {−42}∪(− 2;3)

Ответ:

$a ∈{− 42} ∪(−2;3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#85019

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых множество решений неравенства

∘-----2 |3x− 4| 2x − x ≥(xa+ 1− a)|4 − 3x|

является отрезком длиной 1.

Показать ответ и решение

Неравенство равносильно

|3x− 4|⋅(∘ −x2+-2x−-1+-1− (x− 1)a − 1) ≥ 0

Сделаем замену $y = x− 1.$ Тогда для новой переменной сохраняется то же условие, что и для старой. Неравенство равносильно

(∘ ----2 ) |3y− 1| 1− y − ay − 1 ≥ 0 ⌊({ || |3∘y−-1|> 0 ||(( 1 − y2 − ay − 1 ≥ 0 ||{ |3y− 1|= 0 ⌈( 2 1− y ≥ 0 ⌊({ 1 | y∘ ⁄=-3- ||⌈( 1 − y2 ≥ ay + 1 y = 1 3

Рассмотрим последнюю систему. Ее решением должно быть множество, которое в объединении с точкой $1 y = 3$ образует отрезок длины 1. Рассмотрим неравенство

∘ ----2 1− y ≥ ay+ 1

Решим его графически в системе координат $zOy.$ Левая часть $f(y)= ∘1-− y2$ представляет собой верхнюю полуокружность с центром в точке $(0;0)$ радиуса 1. Правая часть $g(y)= ay +1$ представляет собой пучок прямых, проходящих через точку $(0;1).$ Изобразим положения, при которых выполняется условие задачи:

$yz13$

Все положения прямой между изображенным положением и вертикалью нам подходят. Изображенное положение — когда прямая проходит через точку $(1;0) :$

0= a+ 1 ⇔ a =− 1

Следовательно, итоговый ответ

a∈ (−∞; −1]

Ответ:

$a ∈(−∞; −1]$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#85021

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

(4x2− 8x)2+ 2a|4x − 2x2|− a− 1= 0

имеет или семь, или восемь различных решений.

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в виде

16(x2− 2x)2+ 4a|x2 − 2x|− a− 1= 0

Пусть $t= |x2− 2x|=|(x− 1)2 − 1|.$ Так как $t= t(x)$ — функция, то разным значениям $t$ обязательно соответствуют разные значения $x.$ Тогда уравнение примет вид

2 16t + 4at− a− 1= 0

Исследуем новую переменную:

$∙$ при $t< 0$ уравнение $2 t =|(x− 1) − 1|$ не имеет решений.

$∙$ при $t> 0$ имеем $|(x − 1)2− 1|= t ⇔ (x − 1)2 = 1± t$ и $1+ t> 0.$ Следовательно,

при $1 − t <0$ имеем $x= 1± √1-+t$ — два решения;

при $1 − t =0$ имеем $√---- x= 1± 1 +t;1$ — три решения;

при $1 − t >0$ имеем $√---- √---- x= 1± 1 +t;1± 1 − t$ — четыре решения.

$∙$ при $t= 0$ имеем $x = 0;2$ — два решения.

Следовательно, необходимо, чтобы уравнение

2 y = 16t + 4at− a − 1 = 0

имело два корня $t1 < t2 :$ $0< t1 < 1,t2 =1$ или $0< t1 < t2 < 1.$

Найдем дискриминант нашего уравнения:

D = 16(a+ 2)2 ≥ 0

Нужно, чтобы $D > 0,$ то есть $a ⁄= −2.$ При этом рассмотрим два случая:

1.: $0< t1 < 1,t2 = 1:$ $y(1)= 0 ⇔ a = −5.$ Тогда $t1 = t1t2 = − a-+-1= 1 ∈ (0;1) 16 4$
Этот случай нам подходит.
2.: $0< t1 < t2 <1.$ Тогда парабола $y = y(t)$ должна выглядеть следующим образом:

$10$

Следовательно, такая парабола задается системой
$( || y(0)> 0 |{ || y(1)> 0 ⇔ −5 < a< −1 |( 0< t0 < 1$

Значит, итоговый ответ

a ∈[−5;−2)∪ (− 2;− 1)

Ответ:

$a ∈[−5;−2)∪ (− 2;− 1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#85432

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

(a+ 5)sin2x− 2(a2 +5a)sin x+ 6a2+ 21a − 45 = 0

имеет хотя бы одно решение.

Показать ответ и решение

Так как $6a2+ 21a− 45= 3(a+ 5)(2a− 3),$ то уравнение равносильно

(a +5)(sin2x− 2asin x+ 3(2a − 3))= 0

При $a+ 5= 0$ уравнение равносильно $0 =0,$ следовательно, решением уравнения будут $x ∈ ℝ.$ Значит, $a= −5$ нам подходит.

Пусть далее $a +5 ⁄= 0.$ Тогда уравнение равносильно

⌊sin x= 3 sin2x − 2a sinx +3(2a− 3)= 0 ⇔ ⌈ ⇔ sinx= 2a − 3 sin x= 2a− 3

Так как $|sinx|≤ 1,$ то полученное уравнение имеет решения, если

−1 ≤ 2a− 3≤ 1 ⇔ 1≤ a ≤2

Следовательно, итоговый ответ

a∈ [1;2]∪{− 5}

Ответ:

$a ∈[1;2]∪ {−5}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#85433

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых неравенство

log1−(y−x+a2−3a+1)2(1+ y3− x2− y2)≤ log1−(y−x+a2−3a+1)2(y3)

имеет решения.

Показать ответ и решение

Так как для любого $f$ имеем $f2 ≥ 0,$ то $1− f2 ≤ 1.$ Следовательно, основание логарифмов может быть разве что от 0 до 1. Следовательно, неравенство равносильно

(|| y < x− a2+ 3a ( |||| |||{0 <1 − (y− x +a2− 3a+ 1)2 < 1 |||{ y ⁄= x− a2+ 3a− 1 1+ y3− x2− y2 ≥ y3 ⇔ y > x− a2+ 3a− 2 |||( 3 |||| y > 0 ||||| y > 0 ( x2+ y2 ≤ 1

Графиком последних двух неравенств является верхний полукруг с центром $O (0;0)$ радиуса 1 без нижней границы. Необходимо, чтобы объединение двух полос, заданных первыми тремя неравенствами, имело с этим полукругом хотя бы одно пересечение. Определим $a,$ при которых наоборот: решений нет.

$xyll20$

Пусть $l2$ — прямая вида $y =x − a2+3a − 2,$ касающаяся полукруга, $l0$ — прямая вида $y = x − a2 +3a,$ проходящая через точку $(1;0).$

Рассмотрим первый случай: когда нижняя границы полосы находится совпадает с $l2$ или находится выше. Тогда, во-первых, прямая поднята вверх относительно начального положения $y = x,$ следовательно, $− a2+ 3a− 2> 0.$ Во-вторых, расстояние от центра полукруга до прямой $l2$ больше радиуса полукруга. Следовательно, эти положения задаются следующей системой:

( ||− a2 +3a − 2 > 0 { 2 ⇔ −-a2-+√3a-− 2-> 1 ||(|−-a-+√-3a−-2|> 1 2 2 a2− 3a +2 +√2-< 0 ⇔ a ∈∅

Рассмотрим второй случай: когда верхняя граница полосы совпадает с $l0$ или находится ниже. Это задается неравенством

√ -- ⌊ 3−---13- 2 || a≤ 2 1 − a + 3a≤ 0 ⇔ ⌈ 3+ √13- a≥ ---2---

Следовательно, итоговый ответ:

( √-- √ --) a ∈ 3−--13; 3-+-13 2 2

Ответ:

$( √-- √ --) a ∈ 3−--13; 3-+-13 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#85806

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

(2x+ ln(x+ 2a))2 = (2x− ln(x +2a))2

имеет ровно один корень на отрезке $[0;1].$

Источники: СтатГрад 2017

Показать ответ и решение

Так как уравнение вида $f2 = g2$ равносильно $f = ±g,$ то наше уравнение равносильно

⌊ ⌈2x + ln(x+ 2a)= 2x− ln(x+ 2a) 2x + ln(x+ 2a)= ln(x+ 2a)− 2x ( ⌊ |||{ ⌈ln(x+ 2a)= 0 x= 0 |||( ( ⌊x+ 2a> 0 || x =x1 = 1− 2a |{ ⌈ || x =x2 = 0 |( x> − 2a

Назовем число хорошим, если оно удовлетворяет условию $x> −2a$ и лежит в отрезке $[0;1],$ в противном случае будем называть число плохим. Определим, при каких $a$ числа $x1$ и $x2$ хорошие и плохие.

Число $x1$ — хорошее, если

1 0≤ 1− 2a≤ 1 ⇔ 0≤ a ≤ 2

Тогда $x1$ — плохое, если

⌊a <0 ⌈ 1 a > 2

Число $x2$ — хорошее, если

0> −2a ⇔ a > 0

Тогда $x2$ — плохое, если

a ≤0

Нам подходят ситуации, когда ровно одно из чисел хорошее (а второе, соответственно, плохое) либо когда оба числа равны и хорошие.

хор-плох:

({ 0≤ a≤ 1 2 ⇔ a= 0 ( a≤ 0

плох-хор:

(⌊ ||| a< 0 {⌈ 1 ⇔ a> 1 ||| a> 2 2 (a > 0

хор-хор и равны:

( {1 − 2a = 0 1 ( 1 ⇔ a= 2 0 ≤ a≤ 2

Следовательно, ответ

a∈ {0} ∪[0,5;+∞ )

Ответ:

$a ∈{0}∪ [0,5;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#86200

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

∘5x2-+8ax-+4-= x2+ 2ax + 2

имеет ровно три различных корня.

Источники: СтатГрад 24.04.2024

Показать ответ и решение

Пусть $5x2+8ax +4 = f,$ $x2+ 2ax+ 2= g.$ Тогда уравнение имеет вид $√f-= g$ и равносильно

({ 2 f = g (g ≥ 0

Заметим, что $f = 4g+ x2− 4.$ Следовательно, в буквах $f$ и $g$ уравнение равносильно

( { 4g +x2 − 4 = g2 ( g ≥ 0 ({ x2 = g2− 4g +4 ( g ≥ 0 ({ 2 2 x = (g− 2) ( g ≥ 0 ⌊( |{ x =g − 2 ||( x+ 2 =g ≥ 0 ||({ |⌈ −x = g− 2 ( 2− x =g ≥ 0

Вернувшись полностью к переменной $x,$ получаем. что исходное уравнение равносильно

⌊( ⌊x= 0 { x2+(2a− 1)x= 0 ||( ||( ||{x = 1− 2a ||( x≥ −2 ⇔ ||(x ≥ −2 ||⌈{ x2+(2a+ 1)x= 0 ||( ( x≤ 2 |⌈{x = −1− 2a (x ≤ 2

Полученная совокупность, а значит и исходное уравнение, может иметь максимум 3 корня. Это выполняется, если каждый корень удовлетворяет своему неравенству и корни попарно не равны друг другу:

( ||1 − 2a ≥− 2 |{ [ 3 1) ( 1 1) ( 1 3] ||− 1− 2a≤ 2 ⇔ a ∈ − 2;−2 ∪ −2 ;2 ∪ 2;2 |(1 − 2a ⁄=0 ⁄= −1− 2a

Ответ:

$[ ) ( ) ( ] a ∈ − 3;− 1 ∪ − 1; 1 ∪ 1; 3 2 2 2 2 2 2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#86492

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

ax2 = |2x − 1|√2x−-1+ |x− 1|√4x-−-1

имеет хотя бы один корень. В ответ укажите наибольшее значение $a.$

Показать ответ и решение

Уравнение определено при $x≥ 1. 2$ Также стоить заметить, что при $a< 0$ уравнение не имеет решений, так как левая часть $≤ 0,$ правая $≥0$ и не существует такого $x,$ при котором они одновременно равны нулю. Следовательно, $a ≥0.$

Перепишем уравнение в виде

ax2 = ∘ (2x-−-1)3+ ∘ (x−-1)2(4x−-1) ◟----------=◝g◜(x)----------◞

При $x→ +∞$ имеем $g(x)→ +∞.$ Исследуем производную этой функции.

∘------------------- ′ -(2x−-1)(x-− 1)2(4x-−-1)-+3(x−-1)(2x-− 1)- g (x) = ∘ (x− 1)2(4x− 1)

Найдем нули производной:

∘ ------------------- (2x− 1)(x− 1)2(4x− 1)= −(x − 1)(2x − 1) ( 2 2 2 { (2x − 1)(x− 1)(4x− 1)= (x− 1)(2x− 1) ( (x − 1)(2x− 1)≤ 0 ( |{ x = 1;1 |( 1 2 2 ≤ x≤ 1 x= 1;1 2

Производная положительна на всей области определения, следовательно, $g(x)$ — возрастает при всех $1 x≥ 2 .$

Изобразим график функции $g(x)$ и график функции $f(x)= ax2$ при таком $a,$ при котором они пересекаются хотя бы в одной точке.

$xyyy ==gf(x(x))$

Такое положение параболы задается следующим условием: $f(12)≤ g(12),$ откуда $a ≤ 2.$ Следовательно, наибольшее $a$ равно 2.

Ответ:

$a ∈{2}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#87060

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

( || 3y2+-4xy-+-x2= 24 { 2y + x− 6 ||( √ - 2 2 2 (x − 2 5a)+ (y− 4) ≤ 2a

имеет ровно два решения.

Показать ответ и решение

Рассмотрим первое уравнение. При $2y + x− 6⁄= 0$ оно равносильно

3y2 +4xy+ x2− 48y− 24x+ 144= 0 2 2 3y +4(x− 12)y + (x − 12) = 0

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно $y.$ Дискриминант равен

D = 16(x − 12)2− 12(x − 12)2 = 4(x− 12)2

Следовательно,

⌊ −4(x−-12)±-2(x-− 12) ⌈y = −x+ 12 y = 6 ⇒ y = − 1x + 4 3

Следовательно, первое уравнение задает на координатной плоскости две прямые $l1 :$ $y =− x+ 12$ и $l2 :$ $y =− 1x+ 4 3$ с выколотыми на этих прямых точками пересечения с прямой $1 y = − 2x + 3.$ Это точки $E(18;− 6)$ и $F (− 6;6).$

Неравенство системы задает круг с центром в точке $√- (2 5a;4)$ и радиусом $√- R = 2|a|.$ Этот круг при $a= 0$ вырождается в точку $(0;4).$ Заметим, что центр круга движется по прямой $y = 4.$ Изобразим графики и те положения круга, при которых он имеет ровно две общие точки с прямыми.

$PIC$

Нам подходят всего два положения круга, определенные положением центра: в точке $O1$ и в точке $O2,$ когда окружность касается обеих прямых одновременно. При этом точки $B1$ и $B2$ прямой $l1$ не совпадают с точкой $E$ (ординаты разных знаков) и точки $D 1$ и $D 2$ прямой $l 2$ не совпадают с точкой $F$ (абсциссы разных знаков).

Если окружность пересекает хотя бы одну из прямых в двух точках, то это значит, что все точки этой прямой, лежащие между двумя точками пересечения, являются решением системы. То есть решений будет бесконечно много и этот случай нам не подойдет.

Заметим сразу, что из уравнений прямых определяется угол наклона этих прямых к оси $Ox :$ коэффициент $k$ перед $x$ в уравнении прямой $y = kx +b$ равен тангенсу угла наклона прямой. Следовательно, $α = arctg1$ — острый угол между прямой $l1$ и горизонталью; $β = arctg 13$ — острый угол между прямой $l2$ и горизонталью.

Выпишем нужные нам точки: $A(8;4),$ $C (0;4),$ $√- O(2 5a;4).$

Положение 1: точка $O1.$

$O1B1 = O1D1 = R$ — радиусы окружности, перпендикулярные прямым. Так как $sinα = √12,$ $sinβ = √110,$ то можно найти отрезки $O1A$ и $O1C :$

√ - O A = -R--= --2|a|= 2|a| 1 sinα 1√2 √ - -R-- --2|a| √ - O1C = sin β = √110 = 2 5|a|

С другой стороны, длина $O1A$ равна модулю разности абсцисс точек $A$ и $O1.$ Аналогичные рассуждения для отрезка $O1C.$

- O1A =8 − 2√ 5a √ - O1C = 2 5a

Получаем систему:

({ √ - 2|√a|= O1A =8 − 2√-5a ⇔ a= √5-− 1 (2 5|a|= O1C = 2 5a

Положение 2: точка $O2.$

Имеем:

({ √ - 2|√a|= O2A =2 5a√− 8 ⇔ a= √5-+ 1 (2 5|a|= O2C = 2 5a

Таким образом, ответ

a∈ {√5 − 1;√5-+ 1}

Ответ:

$a ∈{√5-− 1;√5-+ 1}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#87126

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых неравенство

ax2 − 3 > 2(2− a)x− 4a

выполняется для всех $x ∈(−2;− 1).$

Показать ответ и решение

Неравенство равносильно

a(x2+ 2x + 4) >3 + 4x

Так как для любого $x∈ ℝ$ выражение $x2 +2x +4 = (x + 1)2+ 3≥ 3 >0,$ то можно разделить обе части неравенства на это выражение. Тогда получим

--3-+4x--- a> (x+ 1)2+ 3

Сделаем замену $t =x + 1.$ Тогда необходимо найти такие $a,$ чтобы для всех $t∈ (−1;0)$ было выполнено неравенство с новой переменной

a> 4t−-1- t2+ 3

Рассмотрим функцию $4t−-1 y = t2+3$ на отрезке $[−1;0].$

Исследуем функцию $y =y(t).$ Ее производная равна

′ 2(2−-t)(2t+3) y = (t2+ 3)2

При $t∈ [−1;0]$ имеем: $2− t> 0,$ $2t+ 3> 0,$ следовательно, $y′ > 0.$ Значит, функция $y = y(t)$ возрастает на промежутке $[−1;0].$ Значит, при $t∈ [−1;0]$ наибольшее значение функция принимает в точке $t= 0:$

y = y(0)= − 1 наиб 3

Тогда для любого $t∈ (−1;0)$ имеем:

y < yнаиб|[−1;0]

Следовательно, неравенство $a > y(t)$ будет выполнено для всех $t∈ (− 1;0),$ если $a ≥ yнаиб|[− 1;0].$ Следовательно, $a ≥− 1. 3$

Ответ:

$[ ) a ∈ − 1;+∞ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#112333

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых площадь фигуры, ограниченной линиями $y = ax+ 4a$ и $y = 2a|x|+ |a|,$ будет меньше 150, но не меньше 60.

Показать ответ и решение

Рассмотрим первое уравнение:

y = ax+ 4a y =a (x + 4)

Таким образом, первое уравнение задает пучок прямых, проходящих через точку $(− 4;0).$

Прямая $y = a(x+ 4)$ пересекает ось ординат в точке $(0;y(0)),$ то есть в точке $(0;4a).$

Рассмотрим второе уравнение $y = 2a|x|+ |a|.$ Оно задает галочку модуля с вершиной в точке $(0;|a|)$ и угловым коэффициентом $2a.$

Вычислим координаты точек пересечения графиков, задаваемых этими уравнениями. Для этого приравняем правые части:

ax+ 4a= 2a|x|+ |a|.

Заметим, что при $a= 0$ оба уравнения задают прямую $y =0,$ поэтому никакой фигуры не образуется, то есть значение $a= 0$ нам не подходит.

Рассмотрим два случая: $a >0$ и $a< 0.$

Пусть $a > 0,$ тогда имеем

ax+ 4a= 2a|x|+ a x+ 4 =2|x|+1 x+ 3= 2|x|

Если $x ≥ 0,$ то получаем

x+ 3 =2x x =3

Тогда

y = a(x+ 4)= a(3 +4)= 7a.

Получили точку $(3;7a).$

Если $x < 0,$ то получаем

x + 3= −2x 3x= − 3 x = −1

Тогда

y = a(x+ 4)= a(−1+ 4)= 3a.

Получили точку $(−1;3a).$

При $a> 0$ ветви уголка модуля направлены вверх, а его вершина находится в точке $(0;a).$ Тогда имеем следующую картинку:

$−a(((0xy430−;7;41aa;3))a)$

Таким образом, фигура, ограниченная линиями — это треугольник. Вычислим его площадь. Для этого вычислим площадь двух треугольников, на которые его делит ось ординат. За основание в обоих треугольниках возьмем сторону, лежащую на оси ординат. Её длина равна $4a − a = 3a.$ Тогда высоты треугольников равны модулям абсцисс третьих вершин этих треугольников. Значит, при $a >0$ площадь треугольника равна

S+ = S1+ + S2+ = 1 ⋅3a⋅|− 1|+ 1 ⋅3a ⋅|3|= 2 2 = 3a-⋅(1+ 3)= 6a. 2

Следовательно,

60 ≤ S+ < 150 60≤ 6a< 150 10 ≤ a< 25

Пусть $a < 0,$ тогда имеем

ax+ 4a= 2a|x|− a x+ 4 =2|x|− 1 x+ 5= 2|x|

Если $x ≥ 0,$ то получаем

x+ 5 =2x x =5

Тогда

y = a(x+ 4)= a(5 +4)= 9a.

Получили точку $(5;9a).$

Если $x < 0,$ то получаем

x + 5= −2x 3x= − 5 x =− 5 3

Тогда

( 5 ) 7 y = a(x+ 4)= a − 3 + 4 = 3a.

Получили точку $( ) − 5; 7a . 3 3$

При $a< 0$ ветви уголка модуля направлены вниз, а его вершина находится в точке $(0;−a).$ Тогда имеем следующую картинку:

$( 5 7 ) −−((0xy4a5−0;93;4a;a)3)a$

Таким образом, фигура, ограниченная линиями — это треугольник. Вычислим его площадь. Для этого вычислим площадь двух треугольников, на которые его делит ось ординат. За основание в обоих треугольниках возьмем сторону, лежащую на оси ординат. Её длина равна $− a− 4a= −5a.$ Тогда высоты треугольников равны модулям абсцисс третьих вершин этих треугольников. Значит, при $a< 0$ площадь треугольника равна

1 || 5|| 1 S− = S1− + S2− = 2 ⋅(−5a)⋅||− 3||+ 2 ⋅(− 5a)⋅|5|= ( ) =− 5a ⋅ 5+ 5 = − 50a. 2 3 3

Следовательно,

60 ≤ S− < 150 50 60 ≤− 3-a< 150 − 150⋅3< a ≤− 60⋅3 50 50 − 9< a≤ − 18 5 − 9< a≤ − 3,6

Объединяя ответы в случаях $a >0$ и $a< 0,$ окончательно получаем

a∈ (− 9;− 3,6]∪[10;25).

Ответ:

$a ∈(−9;−3,6]∪[10;25)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

	3

	2

	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#112334

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

{ |x|− |2y|=√ 2a,- − x− 2= y+ 4

имеет ровно два различных решения.

Показать ответ и решение

Будем решать задачу графически в системе координат $xOy.$

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно равносильно системе:

{ (−x− 2)2 = y+ 4 {y = (x + 2)2− 4 −x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ −2

Уравнение данной системы задает параболу, ветви которой направлены вверх, вершина находится в точке $A (− 2;− 4).$ Неравенство $x ≤ −2$ говорит нам о том, что от параболы нужно взять только левую ветвь, включая вершину.

Найдем точки пересечения параболы с осью $x :$

(x+ 2)2 − 4 = 0 (x +2)2 = 4 x+ 2= ±2 x= −4;0

Следовательно, получаем точки $(− 4;0)$ и $(0;0).$

$−−−0xyA424$

Рассмотрим первое уравнение системы. Раскроем модуль при $y :$

1.: При $y ≥ 0$ получаем: $|x|− 2y =2a 1 y = 2|x|− a= f+$
2.: При $y < 0$ получаем: $|x|+ 2y =2a y = − 1|x|+ a= f 2 −$

Графики функций $f+$ и $f−$ — уголки, ветви которых параллельны прямым $y = 12x$ и $y = − 12x.$

$f+$ — уголок с ветвями вверх, вершина находится в точке $F1(0;−a),$ от которого нужно взять часть из верхней полуплоскости (включая точки на оси $x$ ).

$f−$ — уголок с ветвями вниз, вершина находится в точке $F2(0;a),$ от которого нужно взять часть из нижней полуплоскости.

Рассмотрим по отдельности случаи, когда $F1$ выше $F2,$ $F1$ совпадает с $F2$ и $F 1$ ниже $F . 2$

1.: $F1$ выше $F2$ при $− a> a,$ то есть при $a< 0 :$

$−a0xyFFa21$

Полученный график и есть график уравнения $|x|− |2y|=2a$ при $a< 0.$
2.: $F1$ совпадает с $F2$ при $− a= a,$ то есть при $a= 0:$

$0Fxy1 = F2$

Полученный график и есть график уравнения $|x|− |2y|=2a$ при $a= 0.$
3.: $F1$ ниже $F2$ при $− a < a,$ то есть при $a> 0:$

$2−0xyFFa212a$

Полученный график и есть график уравнения $|x|− |2y|= 2a$ при $a >0$ (пунктир в него не входит).

Изобразим графики первого и второго уравнений при разных значениях параметра $a$ в одной системе координат.

1.

Если $a ≤0,$ получаем:

$−−−0xyIFFA24421$

При изменении $a$ от $0$ до $− ∞$ точка $F1$ движется вверх, точка $F2$ движется вниз.

Уголок с вершиной $F1$ всегда имеет ровно одну точку пересечения с голубым графиком.

Уголок с вершиной $F2$ имеет ровно одну точку пересечения с голубым графиком вплоть до момента, пока левая ветвь уголка не пройдет через точку $A.$

Положение $I:$ при $a ≤0$ прямая $y = 1x +a 2$ проходит через $A(−2;−4):$

− 4= −1 +a ⇔ a= −3

Следовательно, нам подходят все $a ∈ [−3;0].$

2.

Если $a >0,$ получаем:

$−−−0xyIFFA244I 12$

При изменении $a$ от $0$ до $+ ∞$ точка $F1$ движется вниз, точка $F2$ движется вверх.

Правые ветви обоих уголков не имеют общих точек с голубым графиком.

Левые ветви обоих уголков имеют по одной общей точке с голубым графиком до момента, пока «стык» этих ветвей не пройдет через точку $(− 4;0).$

Положение $II:$ при $a> 0$ точка $(−2a;0)$ совпадает с точкой $(−4;0):$

a =2

Следовательно, нам подходят все $a ∈ (0;2).$

Объединив все подходящие значения параметра, получаем

a ∈[−3;2)

Ответ:

$a ∈[−3;2)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#112335

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

{ 2 2 2 (x+ 7) +(2− y) = 5a − 6(x +1)− 10(y+ 5), |2x − 4|− |2− y|=4

имеет ровно два решения.

Показать ответ и решение

Рассмотрим первое уравнение системы:

(x +7)2+ (2− y)2 =5a2− 6(x+ 1)− 10(y+ 5) 2 2 2 x + 14x+ 49+ 4− 4y+ y = 5a − 6x− 6− 10y − 50 x◟2+-20◝x◜+-100◞−100 + y◟2+-6◝◜y+-9◞ −9 = 5a2 − 6 − 50− 49− 4 полныйквадрат полный квадрат 2 2 2 (x+ 10) +(y+ 3) − 109 = 5a − 109 (x+ 10)2+ (y+ 3)2 = 5a2

Обозначим точку $(− 10;− 3)$ за $O.$

Тогда полученное уравнение при $a ⁄= 0$ задает окружность с центром $O$ радиуса $R = |a|√5;$ при $a= 0$ задает точку $O.$

Нам необходимо, чтобы исходная система имела ровно два решения. Следовательно, каждое уравнение системы должно иметь не менее двух решений, тогда случай $a = 0$ нам точно не подходит.

Далее рассматриваем $a⁄= 0.$

Рассмотрим второе уравнение системы. Запишем его в виде:

2|x − 2|− |y − 2|= 4.

Раскроем модуль при $y :$

1.: При $y ≥ 2$ получаем: $2|x − 2|− (y− 2)= 4 y = 2|x− 2|− 2 =f+$
2.: При $y < 2$ получаем: $2|x − 2|+ (y− 2)= 4 y =− 2|x − 2|+ 6= f−$

Графиком функции $y = f+$ является уголок, ветви которого направлены вверх и имеют наклон $± 2,$ а вершина имеет координаты $(2;−2).$ От этого уголка нужно взять части, находящиеся выше и на прямой $y =2.$

Графиком функции $y = f−$ является уголок, ветви которого направлены вниз и имеют наклон $± 2,$ а вершина имеет координаты $(2;6).$ От этого уголка нужно взять части, находящиеся ниже прямой $y = 2.$

Найдем точки пересечения этих уголков с прямой $y = 2:$

2|x − 2|− |2− 2|=4 2|x− 2|= 4 |x− 2|=2 x= 0; 4

Следовательно, это точки $(0;2)$ и $(4;2).$ Получаем такой график второго уравнения исходной системы:

$420xy$

Тогда нужно найти такие значения параметра $a,$ при которых окружность с центром $O(−10;3)$ и радиусом $√- |a| 5$ будет иметь с полученным голубым графиком (без пунктира) ровно две общие точки.

Заметим, что если нам подходит $a0 >0,$ то подойдет и $− a0 < 0.$ Следовательно, можно решать задачу только для $a> 0,$ а полученные значения вместе с противоположными значениями параметра пойдут в ответ.

Пусть далее $a > 0.$

Изобразим граничные положения.

$42−−0xyIIO13I0$

Положение I: окружность касается левой ветви уголка с ветвями вниз.

Уравнение уголка с ветвями вниз — это $y = −2|x − 2|+ 6.$ Левая ветвь задается уравнением при отрицательном раскрытии модуля, то есть $y = 2(x− 2)+ 6= 2x+ 2,$ причем $x≤ 0.$

Расстояние от центра $O(−10;−3)$ окружности до прямой $2x− y+ 2= 0$ должно быть равно радиусу окружности:

√ - a 5= |2⋅∘(−-120)+3-+22| 2 + (− 1) √- |−-20+-3+-2| a 5= √5 5a= |− 15| a =3

Положение II: окружность проходит через точку $(4;2):$

2 2 2 (4+ 10)+ (2+ 3) = 5a 142+ 52 = 5a2 196+ 25= 5a2 a2 = 221 ∘ -5-- 221 a = 5

Нужно еще отдельно определить, где находится точка касания окружности и левой ветви уголка с ветвями вверх: на пунктирной (то есть на несуществующей) части или на существующей.

Уравнение уголка с ветвями вверх — это $y = 2|x− 2|− 2.$ Левая ветвь задается уравнением при отрицательном раскрытии модуля, то есть $y = −2(x− 2)− 2= −2x +2,$ причем $x≤ 0.$