18.03 Задачи формата ЕГЭ

Пусть Тогда уравнение примет вид

Рассмотрим и исследуем две функции:

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке Следовательно, является точкой минимума и наименьшее значение функции равно

Тогда график функции выглядит следующим образом. При этом заметим, что он при всех находится в верхней полуплоскости, а также в силу четности функции симметричен относительно оси

Функция также четная. Ее графиком является корыто, правая ветвь которого задается уравнением дно корыта протяженностью от до и высотой Следовательно,

Тогда получаем график, который при всех находится в верхней полуплоскости и симметричен относительно оси

Единственное решение уравнение будет иметь, если В свою очередь, уравнение не имеет решений при если при этом правая ветвь графика функции не пересекается с правой ветвью графика функции

Проверим, действительно ли при найденных значениях правая ветвь графика функции не пересекается с правой ветвью графика функции

Если то графики обеих функций выглядят так:

Тогда исходное уравнение имеет три решения и принимает вид

Следовательно, нам не подходит.

При правая ветвь корыта имеет уравнение при и действительно выполнено

Последнее неравенство выаполняется, так как имеют место оценки

Следовательно, при и Значит, правая ветвь параболы выше правой ветви корыта, а в силу симметрии обоих графиков относительно оси и левая ветвь параболы выше левой ветви корыта. То есть при графики выглядят следующим образом:

 

Тогда исходное уравнение имеет единственное решение или не имеет решений при