18.03 Задачи формата ЕГЭ

Рассмотрим первое уравнение. При оно равносильно

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно Дискриминант равен

Следовательно,

Следовательно, первое уравнение задает на координатной плоскости две прямые и с выколотыми на этих прямых точками пересечения с прямой Это точки и

Неравенство системы задает круг с центром в точке и радиусом Этот круг при вырождается в точку Заметим, что центр круга движется по прямой Изобразим графики и те положения круга, при которых он имеет ровно две общие точки с прямыми.

Нам подходят всего два положения круга, определенные положением центра: в точке и в точке когда окружность касается обеих прямых одновременно. При этом точки и прямой не совпадают с точкой (ординаты разных знаков) и точки и прямой не совпадают с точкой (абсциссы разных знаков).

Если окружность пересекает хотя бы одну из прямых в двух точках, то это значит, что все точки этой прямой, лежащие между двумя точками пересечения, являются решением системы. То есть решений будет бесконечно много и этот случай нам не подойдет.

Заметим сразу, что из уравнений прямых определяется угол наклона этих прямых к оси коэффициент перед в уравнении прямой равен тангенсу угла наклона прямой. Следовательно, — острый угол между прямой и горизонталью; — острый угол между прямой и горизонталью.

Выпишем нужные нам точки:

Положение 1: точка

— радиусы окружности, перпендикулярные прямым. Так как то можно найти отрезки и

С другой стороны, длина равна модулю разности абсцисс точек и Аналогичные рассуждения для отрезка

Получаем систему:

Положение 2: точка

Имеем:

Таким образом, ответ