Тема ШВБ (Шаг в будущее)

Квадратные трёхчлены на ШВБ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела швб (шаг в будущее)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#86345

На параболе $y = x2$ даны две точки: $A$ с абсциссой $− 3$ и $B$ с абсциссой $5.$ Точка $C$ лежит на дуге $AB$ . Найдите максимальную возможную площадь треугольника $ABC$ .

Источники: ШВБ - 2024, 11.2 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Итак, хотим найти площадь…какую формулу для ее нахождения будет проще всего применить? Что из нужных величин у нас уже есть и фиксированно? Что тогда нужно максимизировать?

Подсказка 2

У нас уже есть фиксированное AB, значит нам нужно максимизировать длину высоты из C на AB. А как связать это условие с поведение параболы в точке C?

Подсказка 3

Это произойдет, когда касательная к параболе в точке C будет параллельна AB. Как этого добиться?

Подсказка 4

Тангенс угла наклона касательной к графику в точке равен производной функции в этой точке. Ну а найти тангенс угла наклона AB найти будет несложно!

Подсказка 5

Тангенс угла наклона должен быть равен двум. Тогда мы составим уравнение на производную в точке С и найдем ее координаты! Осталось лишь посчитать площадь)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Площадь треугольника $ABC$ будет максимальной, когда высота из точки $C$ на основание $AB$ будет максимальной длины. Это произойдет, когда касательная к параболе в точке $C$ будет параллельна $AB.$

Координаты точек: $A (− 3,9), B (5,25)$ . Тангенс наклона прямой, содержащей $AB$ , равен $16 8 = 2.$ Тангенс угла наклона касательной к графику в точке равен производной функции в этой точке, поэтому хотим найти $x0$ такое, что $( 2)′ (x0) = 2x0 = 2 ⇐⇒ x0 =1.$

Итого, искомые координаты $C(1,1)$ . Найдем длины сторон треугольника $ABC :$

∘ --------------- √- AB = (5+3)2+ (25− 9)2 =8 5

∘ --------------- √-- BC = (5− 1)2 +(25− 1)2 = 4 37

∘-------------- √- AC = (1+ 3)2+ (1− 9)2 = 4 5

Найдем площадь треугольника по формуле Герона:

√ - √ -- p= 6 5+ 2 37

--------------------------- S =∘ p⋅(p− 8√5)⋅(p− 4√5)⋅(p− 4√37) =64

Второе решение.

$PIC$

Разрежем треугольник вертикальным отрезком $CD$ , тогда

(x − x )CD + (x − x )CD S(ABC )= S(ACD)+ S(BCD )= -C---A-----2--B---C----=

= xB −-xA-⋅CD =4⋅CD 2

Пусть $y = kx +b−$ уравнение прямой $AB$ . Тогда $CD = kx+ b− x2$ . Этот трёхчлен достигает максимум посередине между корнями, которые, очевидно, равны $xA$ и $xB.$ Значит, максимальная длина отрезка $CD$ получится, если взять $xC = xA+x2B-= 1$ , и тогда $CD = 16.$