Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Тригонометрия на СПБГУ

Тема СПБГУ

Тригонометрия на СПБГУ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела спбгу

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#87410

Найдите угол $α,$ если известно, что $0< α <90∘$ и

(1+-tg2∘)(1+-tg5∘)−-2 tgα= (1− tg2∘)(1− tg5∘)− 2

Источники: СПБГУ - 2024, 11.2 (см. olympiada.spbu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На что издалека напоминает уравнение из условия?

Подсказка 2

На формулу тангенса суммы! Попробуем tg(2+5) преобразить так, чтобы он еще больше стал похож на уравнение из условия ;)

Подсказка 3

А что если расписать tg(2+5) + 1? В числителе как раз появятся нужные слагаемые

Подсказка 4

Обратите внимание, что 1 - tg(5)² + tg(5) + tg(2) можно разложить на множители! Смотрите, получилось что-то очень похожее на знаменатель из условия ;)

Подсказка 5

Теперь мы знаем, что (1 - tg(5))(1-tg(2)) - 2 = -(tg(7) + 1)(1 - tg(5)tg(2)). Осталось лишь понять, как выразить знаменатель условия и дело остается за малым ;)

Показать ответ и решение

Вспомним формулу тангенса суммы:

∘ -tg5∘-+tg2∘ tg7 = 1 − tg5∘tg2∘

Проведём с ней некоторые махинации:

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ tg7∘+ 1= 1−-tg5-tg2-+∘tg5∘+tg2-= 2-− (1−-tg2-)∘(1−∘tg5) 1− tg5 tg2 1− tg5 tg2

Домножим на знаменатель:

(1 − tg2∘)(1− tg5∘)− 2= −(tg7∘+ 1)(1− tg5∘tg2∘)

Если аналогично рассмотреть выражение $tg7∘− 1$ , то мы получим, что

(1+ tg 2∘)(1 +tg5∘)− 2= (tg7∘− 1)(1− tg5∘tg2∘)

Таким образом,

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ tgα = -(tg7∘−-1)(1− tg5-t∘g2)∘-= 1−-tg7∘ =-tg45-−∘tg7-∘ = tg38∘ −(tg 7 +1)(1− tg5 tg2 ) 1+ tg7 1+ tg 45 tg7

Следовательно, $α= 38∘$ .

Ответ:

$38∘$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#64375

Даны вещественные числа $x,...,x . 1 n$ Найдите максимальное значение выражения

---sinx1+-...+-sinxn--- A= ∘tg2-x1-+...+-tg2xn+n-.

Источники: СПБГУ-17, 11.3 (см. rsr-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть A = b/c. Попробуйте доказать некоторые оценки для b и 1/c.

Подсказка 2

Для 1/c воспользуйтесь тем, что 1 + tg²x = 1/cos²x. Можно ли как-то избавиться от корня в знаменателе?

Подсказка 3

Докажите, что (a₁ + a₂ + ... + aₙ)² ≤ n ⋅ ((a₁)² + (a₂)² + ... + (aₙ)²).

Подсказка 4

Воспользуйтесь неравенством Коши.

Показать ответ и решение

Заметим, что при любых $a ,...,a 1 n$

(∑n )2 ∑n ak ≤ n a2k (∗) k=1 k=1

По сути это частный случай транснеравенства, но докажем его по индукции. База очевидна, шаг:

(∑n )2 (n−∑1 )2 n∑−1 n∑−1 n∑−1 ak = ak + 2an ak+ a2n ≤ (n − 1) a2k+ a2n +2an ak k=1 k=1 k=1 k=1 k=1

Осталось доказать

n∑−1 ∑n n∑−1 n−∑ 1 a2n +2an ak ≤ n a2k− (n − 1) a2k = na2n+ a2k ⇐⇒ k=1 k=1 k=1 k=1

n−∑ 1 n∑−1 2akan ≤ (a2k+ a2n)-выполняется почленно k=1 k=1

Отсюда в силу неравенства для среднего гармонического и среднего арифметического

[ ] ∘--------1---------= 1+ tg2x = -12--= ∘--------1--------≤ tg2x1+ ...+tg2xn+ n cos x cos12x1 + ...+ cos12xn

√- ≤(∗)≤ -1-----n---1---≤ cosx1+n..√.n+cosxn. cosx1 + ...+ cosxn

Предпоследний переход объясняется положительностью косинусов и перемножением крест-накрест с возведением в квадрат, тогда нам и помогает $(∗)$ .

Тогда по неравенству Коши, применённому к скобкам ниже:

(∑n sinxk)⋅(∑n cosxk) (∑n sinxk)2+(∑n cosxk)2 A≤ ---k=1----n√n--k=1----- ≤---k=1----2n√n--k=1------≤

∑ ∑ √- ≤ (∗)≤ --nk=1sin2xk+√--nk=1cos2xk-= -n. 2 n 2

Равенство достигается при $π xi = 4$ .

Ответ:

$√n 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания