Тригонометрия на СПБГУ

Заметим, что при любых

По сути это частный случай транснеравенства, но докажем его по индукции. База очевидна, шаг:

Осталось доказать

Отсюда в силу неравенства для среднего гармонического и среднего арифметического

Предпоследний переход объясняется положительностью косинусов и перемножением крест-накрест с возведением в квадрат, тогда нам и помогает .

Тогда по неравенству Коши, применённому к скобкам ниже:

Равенство достигается при .