Тема 13. Неравенства, системы неравенств

13.01 Задачи №13 из банка ФИПИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела неравенства, системы неравенств

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#48618

Укажите решение неравенства $2x− 8> 4x+ 6.$

1) $(−∞; 1)$

2) $(1;+ ∞ )$

3) $(−∞; −7)$

4) $(−7;+∞ )$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Решим нервенство:

2x− 8> 4x +6 2x− 4x> 6 +8 − 2x> 14 2x < −14 x < −7

Таким образом, решением неравенства является $x∈ (−∞; −7).$

Ответ: 3

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#58597

Укажите решение неравенства $8x− 3(3x +8)≥ 9.$

$1) [15;+∞ )$

$2) (−∞; −33]$

$3) (−∞; 15]$

$4) [−33;+ ∞ )$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Решим неравенство:

8x− 3(3x + 8) ≥9 8x− 9x− 24≥ 9 − x≥ 24+ 9 −x ≥ 33 x≤ − 33

Тогда $x ∈(− ∞;−33],$ и ответ 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#42136

Укажите множество решений неравенства $2x+ 4 ≤− 4x+ 1.$

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Решим неравенство:

2x +4 ≤ −4x+ 1 2x+ 4x ≤1 − 4 6x≤ − 3 x ≤− 3 6 x≤ −0,5

Таким образом, ответ — 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#23452

Укажите решение системы неравенств ${ x> −1, −4− x > 0.$

$1)−4$

$2)−−41$

$3)−1$

$4) нет реш ений$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

{ { x> − 1 ⇔ x > −1 −4 − x > 0 x < −4

Отсюда видно, что система не имеет решений, так как $− 4< − 1.$

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#31550

Укажите решение системы неравенств ${ x> 8, 9− x< 0.$

$1)9$

$2)9$

$3)8$

$4)89$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Упростим систему:

({ ({ ({ x > 8 ⇔ x > 8 ⇔ x> 8 ⇔ x> 9 (9 − x < 0 (9 < x ( x> 9

Тогда решением исходной системы является промежуток, отмеченный на координатной прямой 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#28202

Укажите решение системы неравенств $({ 4x− 8> 0, ( 8− 3x> − 4.$

1) $(−∞; 4)$

2) $(2;4)$

3) $(2;+ ∞ )$

4) нет решений

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Решим систему неравенств:

({ ({ 4x− 8> 0 ⇔ 4x> 8 ⇔ ( 8− 3x> −4 (12> 3x ( ⇔ {x > 2 ⇔ 2< x< 4 (4 >x

Значит, ответ — 2.

Ответ: 2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#31547

Укажите решение системы неравенств $({ x− 6,6 ≥ 0, ( x+ 1≥ 5.$

1) $[4;+ ∞)$

2) $[4;6,6]$

3) $[6,6;+∞ )$

4) $(−∞; 4]$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Упростим систему:

({ ({ x − 6,6≥ 0 ⇔ x≥ 6,6 ⇔ x≥ 6,6 (x + 1≥ 5 ( x≥ 4

Таким образом, решением исходной системы является промежуток $[6,6;+∞ ),$ то есть ответ — 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#57246

Укажите множество решений неравенства $x − x2 ≥0.$

$1)1$

$2)01$

$3)0$

$4)01$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

2 x − x ≥0 ⇔ x(1 − x)≥ 0

Решим неравенство методом интервалов.

Найдём нули:

x =0 1 − x = 0 ⇔ x= 1

$x01−+−$

Тогда $x ∈(0;1),$ и ответ 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#38707

Укажите решение неравенства $3x− x2 ≤ 0.$

1) $(−∞; 0]∪ [3;+ ∞)$

2) $[3;+ ∞)$

3) $[0;3]$

4) $[0;+ ∞)$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$pict$

Таким образом, нам подходит ответ номер 1.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#50556

Укажите решение неравенства $(x + 3)(x− 6)> 0.$

1) $(6;+ ∞ )$

2) $(−3;+∞ )$

3) $(−∞; −3)∪ (6;+∞ )$

4) $(−3;6)$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Решим неравенство методом интервалов.

(x+ 3)(x − 6)> 0

Найдём нули:

1.: $x+ 3= 0 ⇔ x = −3$
2.: $x− 6= 0 ⇔ x = 6$

$x−6+−+3$

Тогда $x ∈(− ∞;−3)∪ (6;+ ∞)$ и ответ 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#52695

Укажите решение неравенства $(x + 4)(x− 8)> 0.$

$1)−x4$

$2)−8x4$

$3)8x$

$4)−8x4$

Показать ответ и решение

Решим неравенство методом интервалов.

Найдем нули:

1.: $x+ 4= 0 ⇔ x = −4;$
2.: $x− 8= 0 ⇔ x = 8$

$x−8+−+4$

Тогда $x ∈(− ∞;−4)∪ (8;+ ∞),$ и ответ 4.

Ответ: 4

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#54951

Укажите решение неравенства $x2− 49≥ 0.$

1) $[−7;7]$

2) нет решений

3) $(−∞; −7]∪[7;+∞ )$

4) $(−∞; +∞ )$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой разности квадратов и разложим выражение на множители:

x2− 49 ≥ 0 ⇔ (x − 7)(x+ 7)≥ 0

Решим неравенство методом интервалов.

Найдем нули:

$pict$

$x−7+−+7$

Тогда $x ∈(− ∞;−7]∪ [7;+∞ ),$ и ответ 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#42850

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

$01$

1) $x2− 1≤ 0$

2) $x2− x ≥0$

3) $x2− 1≥ 0$

4) $x2− x ≤0$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Решим каждое неравенство.

1.

$x2− 1≤ 0$

x2− 1≤ 0 ⇔ (x− 1)(x + 1) ≤0

Нули: $[ x = 1 x = −1$

Решая неравенство методом интервалов, получаем

x ∈[−1;1]

2.

$2 x − x≥ 0$

x2− x ≥0 ⇔ x(x − 1)≥ 0

Нули: $[x = 0 x = 1$

Решая неравенство методом интервалов, получаем

x∈ (− ∞;0]∪ [1;+∞ )

3.

$2 x − 1≥ 0$

2 x − 1≥ 0 ⇔ (x− 1)(x + 1) ≥0

Нули: $[ x = 1 x = −1$

Решая неравенство методом интервалов, получаем

x∈ (−∞; −1]∪[1;+∞ )

4.

$x2− x≤ 0$

2 x − x ≤0 ⇔ x(x − 1)≤ 0

Нули: $[ x = 0 x = 1$

Решая неравенство методом интервалов, получаем

x∈ [0;1]

Тогда на рисунке изображено решение неравенства под номером 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#55277

Укажите решение неравенства $25x2 ≥ 4.$

$1)−0,04,4$

$2)−0,04,4$

$3)−0,4$

$4)0,4$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

2 2 25x ≥ 4 ⇔ 25x − 4 ≥ 0

Воспользуемся формулой разности квадратов:

(5x)2− 22 ≥ 0 (5x− 2)(5x +2)≥ 0

Решим неравенство методом интервалов.

Найдём нули:

1.: $2 5x− 2= 0 ⇔ x = 5$
2.: $5x+ 2= 0 ⇔ x =− 2 5$

$22 x−5+−+5$

Нам подходят интервалы вещественной прямой под знаком "+". Тогда ответ под номером 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#43930

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

$−33$

$1) x2− 9> 0$

$2) x2+ 9> 0$

$3) x2− 9< 0$

$4) x2+ 9< 0$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Решим каждое неравенство:

1.: $x2− 9> 0 ⇔ (x− 3)(x+ 3)> 0.$
Решая неравенство методом интервалов, получаем
$x∈ (−∞; −3)∪(3;+∞ )$
2.: Так как $2 x ≥ 0$ для любого $x,$ то для любого $x$ верно: $2 x + 9> 0$
Значит, решением неравенства будет вся числовая прямая.
3.: $x2− 9< 0 ⇔ (x− 3)(x+ 3)< 0.$
Решая неравенство методом интервалов, получаем
$x∈ (−3;3)$
4.: Так как $x2 ≥ 0$ для любого $x,$ то для любого $x$ будет верно $x2+ 9> 0$
Значит, неравенство $2 x + 9< 0$ не имеет решений.

Так как на рисунке $x∈ (− ∞;− 3)∪(3;+∞ ),$ то ответ 1.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#41474

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

$01$

1) $x2− 1≥ 0$

2) $x2− x ≥0$

3) $x2− 1≤ 0$

4) $x2− x ≤0$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

1. Решим первое неравенство:

x2 − 1 = (x − 1)(x+ 1)≥ 0 ⌊{ ⌊ { | x − 1≥ 0 | x ≥1 [ ||{x + 1≥ 0 ⇔ || {x ≥− 1 ⇔ x ≥ 1 |⌈ x − 1≤ 0 |⌈ x ≤1 x ≤ −1 x + 1≤ 0 x ≤− 1

То есть $x∈ (− ∞;− 1]∪ [1;+ ∞),$ этот ответ не соответствует картинке.

2. Решим второе неравенство:

x2− x= x(x− 1)≥ 0 ⌊{ ⌊{ | x− 1≥ 0 | x ≥ 1 [ |||{ x≥ 0 ⇔ |||{x ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 ⌈ x− 1≤ 0 ⌈ x ≤ 1 x ≤ 0 x≤ 0 x ≤ 0

То есть $x∈ (− ∞;0]∪ [1;+∞ ),$ именно эти промежутки нарисованы на картинке.

Таким образом, ответ 2.

Ответ: 2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#42106

Укажите неравенство, которое не имеет решений.

$1) x2+ 78> 0$

$2) x2+ 78< 0$

$2 3) x − 78> 0$

$2 4) x − 78< 0$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

1.

$2 x + 78 > 0.$

Так как для любого $x$ верно, что $x2 ≥0,$ то для любого $x$ верно

2 x +78 > 0,

то есть решением этого неравенства будет $x ∈ ℝ.$

2.

$x2+ 78 < 0.$

У такого неравенства не будет решений, так как для любого $x$ верно

x2+ 78> 0

3.

$x2− 78 > 0.$

( √--)( √--) x2 − 78 >0 ⇔ x− 78 x + 78 > 0

Решая неравенство методом интервалов, получаем:

( √ -) (√ -- ) x∈ −∞; − 78 ∪ 78;+ ∞

4.

$x2− 78 < 0.$

( √--)( √--) x2 − 78 <0 ⇔ x− 78 x + 78 < 0

Решая неравенство методом интервалов, получаем:

( √-- √--) x ∈ − 78; 78

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#37285

Укажите неравенство, которое не имеет решений.

1) $x2− 3x− 11< 0$

2) $x2− 3x+ 11< 0$

3) $2 x − 3x+ 11> 0$

4) $2 x − 3x− 11> 0$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Рассмотрим многочлен $x2 − 3x − 11.$ Его дискриминант равен $D = 32+ 4⋅11= 53.$ Следовательно, многочлен имеет два нуля $x1$ и $x2,$ значит, неравенства 1) и 4) имеют решения.

Рассмотрим многочлен $2 x − 3x+ 11.$ Его дискриминант $2 D = 3 − 4 ⋅11 < 0.$ Следовательно, график $2 y = x − 3x+ 11$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх и которая не пересекает ось абсцисс. Тогда неравенство 2) не имеет решений.