Тема 15. Треугольники

15.01 Задачи №15 из банка ФИПИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела треугольники

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#43932

В треугольнике два угла равны $38∘$ и $89∘.$ Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как сумма углов треугольника равна $180∘,$ то третий угол равен

∘ ∘ ∘ ∘ 180 − 38 − 89 = 53

Ответ: 53

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#30838

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $34∘.$ Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Треугольник $ABC$ — прямоугольный. Пусть $∘ ∠C = 90 ,$ $∘ ∠B = 34 .$ По свойству прямоугольного треугольника сумма его острых углов равна $90∘,$ то есть

∠A +∠B =90∘ ⇒ ∠A = 90∘− ∠B = 90∘− 34∘ = 56∘

$PIC$

Ответ: 56

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#88755

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC,$ $∠ABC =106∘.$ Найдите угол $BCA.$ Ответ дайте в градусах.

$BAC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как $AB =BC,$ треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC,$ а значит $∠BCA = ∠BAC,$ причем по сумме углов треугольника

∠ABC +∠CAB + ∠ABC = 180∘.

Тогда

180∘ = ∠ABC + 2∠BCA

Значит,

180∘− ∠ABC- 180∘-− 106∘ ∘ ∠BCA = 2 = 2 = 37 .

Ответ: 37

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#43607

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $106∘.$ Найдите внешний угол при вершине $C.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как сумма смежных углов равна $180∘,$ то внешний угол при вершине $C$ равен

180∘− 106∘ = 74∘

Ответ: 74

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#42335

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH,$ $∠BAC = 39∘.$ Найдите угол $ABH.$ Ответ дайте в градусах.

$ACBH$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH.$ Сумма углов в треугольнике равна $180∘,$ тогда

∠ABH = 180∘ − ∠AHB − ∠BAH = = 180∘− 90∘− 39∘ =51∘

Ответ: 51

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#50250

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠BAC = 48∘,$ $AD$ — биссектриса. Найдите $∠BAD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как $AD$ — биссектриса, то

1 1 ∘ ∘ ∠BAD = ∠DAC = 2∠BAC = 2 ⋅48 = 24

Ответ: 24

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#21341

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 14,$ $BM$ — медиана, $BM = 10.$ Найдите $AM.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Медиана, проведенная к стороне, делит эту сторону пополам, то есть

1 AM = CM = 2AC = 7

$PIC$

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#55496

Катеты прямоугольного треугольника равны 16 и 30. Найдите гипотенузу этого треугольника.

Показать ответ и решение

По теореме Пифагора длина гипотенузы равна

∘ --2----2 √-------- √---- 16 + 30 = 256+ 900= 1156= 34

Ответ: 34

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#21353

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 16 и 34 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, т.е. другой катет равен

∘-------- ∘ --------------- √ ----- 342− 162 = (34 − 16)(34 +16)= 18 ⋅50= 30

$PIC$

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#21351

Сторона равностороннего треугольника равна $√ - 30 3.$ Найдите медиану этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Медиана равностороннего треугольника также является биссектрисой и высотой и вычисляется по формуле $a√3 2 ,$ где $a$ — сторона треугольника. По условию $√ - a = 30 3,$ откуда медиана равна $√-√- 30-32⋅3-= 45.$

$PIC$

Ответ: 45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#38197

Медиана равностороннего треугольника равна $√ - 29 3.$ Найдите сторону этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $AM$ — медиана равностороннего треугольника $ABC.$ Тогда $AM$ также является высотой и биссектрисой. Значит, $ABM$ — прямоугольный треугольник с углом $ABM = 60∘.$ Тогда

√- √ - √- AM--= sin∠ABM = -3- ⇒ 29-3-= -3- ⇔ AB = 29 ⋅2= 58 AB 2 AB 2

$PIC$

Ответ: 58

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#88758

Сторона равностороннего треугольника равна $√- 12 3.$ Найдите биссектрису этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Заметим, что биссектриса равностороннего треугольника совпадает с медианой и высотой. Опустим высоту из $A$ на $BC.$ Получим прямоугольный треугольник $△ABM.$ По теореме пифагора для $△ABM$ Получим

AM2 =AB2 − BM2 ( √-)2 ( √ -)2 AM2 = 12 3 − 12--3 2 2 AM = 144⋅3− 36⋅3 AM2 = 108⋅3 AM2 = 182 AM = 18

Тогда мы получили, что длина медианы равна 18, но тогда и длина биссектрисы равна 18.

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#38204

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90∘,$ $AC =14,$ $AB = 20.$ Найдите $sin B.$

$CAB$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению длины противолежащего катета к длине гипотенузы. Значит,

AC- 14 7- sin∠B = AB = 20 = 10 = 0,7

$PIC$

Ответ: 0,7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#40182

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90∘,$ $BC = 12,$ $AB = 15.$ Найдите $cosB.$

$CBA$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$cos$ угла – отношение прилежашего катета к гипотенузе. Поэтому:

BC 12 cosB = AB- = 15 = 0,8

Ответ: 0,8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#38203

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90∘,$ $BC = 7,$ $AC = 35.$ Найдите $tgB.$

$CAB$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению длины противолежащего катета к длине прилежащего. Значит,

AC- 35 tg∠B = BC = 7 = 5

$PIC$

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#38199

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90∘,$ $sinB = 4, 9$ $AB = 18.$ Найдите $AC.$

$CBA$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

В прямоугольном треугольнике $ABC$

AC sin∠B = AB-

Следовательно,

AC = AB sin∠B = 18⋅ 4 = 8 9

$PIC$

Ответ: 8

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#42449

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90∘,$ $cos∠B = 9-, 14$ $AB = 42.$ Найдите $BC.$

$ABC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

9 BC 9 42⋅9 14 = cos∠B = AB- ⇔ BC = AB ⋅14 = -14-= 27.

Ответ: 27

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#88757

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90∘,$ $tg∠B = 11, 8$ $BC = 24.$ Найдите $AC.$

$ABC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как $tg B = 11-, 8$ то

11 AC 8-= tg∠B = BC-.

Тогда

AC = 11BC- = 11⋅24= 33. 8 8

Ответ: 33

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#21342

Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно, сторона $AB$ равна 66, сторона $BC$ равна 37, сторона $AC$ равна 52. Найдите $MN.$