Тема №15. Треугольники

01 Задачи №15 из банка ФИПИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №15. треугольники

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#43932

В треугольнике два угла равны $38∘$ и $89∘.$ Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как сумма углов треугольника равна $180∘,$ то третий угол равен

∘ ∘ ∘ ∘ 180 − 38 − 89 = 53 .

Ответ: 53

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#30838

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $34∘.$ Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Треугольник $ABC$ — прямоугольный. Пусть $∘ ∠C = 90 ,$ $∘ ∠B = 34 .$ По свойству прямоугольного треугольника сумма его острых углов равна $90∘,$ то есть

∠A+ ∠B = 90∘ ⇒ ∠A = 90∘− ∠B = 90∘− 34∘ =56∘.

$PIC$

Ответ: 56

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#88755

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC,$ $∠ABC =106∘.$ Найдите угол $BCA.$ Ответ дайте в градусах.

$BAC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как $AB =BC,$ треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC,$ а значит $∠BCA = ∠BAC,$ причем по сумме углов треугольника

∠ABC +∠CAB + ∠ABC = 180∘.

Тогда

180∘ = ∠ABC + 2∠BCA

Значит,

180∘− ∠ABC- 180∘-− 106∘ ∘ ∠BCA = 2 = 2 = 37 .

Ответ: 37

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#43607

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $106∘.$ Найдите внешний угол при вершине $C.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как сумма смежных углов равна $180∘,$ то внешний угол при вершине $C$ равен

180∘− 106∘ = 74∘.

Ответ: 74

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#50250

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠BAC = 48∘,$ $AD$ — биссектриса. Найдите угол $BAD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как $AD$ — биссектриса, то

1 1 ∘ ∘ ∠BAD = ∠DAC = 2∠BAC = 2 ⋅48 = 24.

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#21341

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 14,$ $BM$ – медиана, $BM = 10.$ Найдите $AM.$

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Медиана, проведенная к стороне, делит эту сторону пополам, то есть

1 AM = CM = 2 AC = 7.

$PIC$

Ответ: 7

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#55496

Катеты прямоугольного треугольника равны 16 и 30. Найдите гипотенузу этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По теореме Пифагора длина гипотенузы равна

∘ --2---2- √ -------- √---- 16 + 30 = 256+ 900 = 1156= 34.

Ответ: 34

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#21353

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 16 и 34 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, т.е. другой катет равен

∘ -------- ∘--------------- √----- 342− 162 = (34− 16)(34+ 16)= 18⋅50 =30.

$PIC$

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#88758

Сторона равностороннего треугольника равна $√- 12 3.$ Найдите биссектрису этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Заметим, что биссектриса равностороннего треугольника совпадает с медианой и высотой. Опустим высоту из вершины $A$ на $BC.$ Получим прямоугольный треугольник $△ABM.$

$PIC$

По теореме Пифагора для $△ABM$ получим

2 2 2 AM =AB − BM AM2 = (12√3)2− (6√3)2 AM2 = 144⋅3− 36⋅3 AM2 = 108⋅3 AM2 = 182 AM = 18

Тогда мы получили, что длина высоты равна 18, но тогда и длина биссектрисы равна 18.

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#122706

Сторона равностороннего треугольника равна $√- 10 3.$ Найдите биссектрису этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Заметим, что в равностороннем треугольнике биссектриса является высотой, а высота может быть вычислена по формуле

√3- h= -2-⋅a,

где $a$ — сторона равностороннего треугольника.

$PIC$

Подставляя сторону треугольника из условия, получаем:

√- √- h = -3-⋅10 3= 5 ⋅3 = 15. 2

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#38203

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90∘,$ $BC = 5,$ $AC = 3.$ Найдите $tg∠B.$

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению длины противолежащего катета к длине прилежащего. Значит,

AC- 3 tg∠B = BC = 5 = 0,6.

Ответ: 0,6

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#38199

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90∘,$ $sin∠B = 4, 9$ $AB = 18.$ Найдите $AC.$

$CBA$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

В прямоугольном треугольнике $ABC$

AC sin∠B = AB-

Следовательно,

AC =AB sin∠B = 18⋅ 4 = 8. 9

$PIC$

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#42449

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90∘,$ $cos∠B = 5, 6$ $AB = 18.$ Найдите $BC.$

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как $cos∠B = 5, 6$ то

5 BC 6 = cos∠B = AB-.

Тогда

BC = 5AB- = 5⋅18= 15. 6 6

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#88757

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90∘,$ $tg∠B = 11, 8$ $BC = 24.$ Найдите $AC.$

$ABC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как $tg ∠B = 11, 8$ то

11 AC 8-= tg∠B = BC-.

Тогда

AC = 11BC- = 11⋅24= 33. 8 8

Ответ: 33

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#41476

Два катета прямоугольного треугольника равны 7 и 12. Найдите площадь этого треугольника.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, то

1 S = 2 ⋅7⋅12= 42.

Ответ: 42

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#52696

Сторона треугольника равна 16, а высота, проведённая к этой стороне, равна 27. Найдите площадь этого треугольника.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию, то

1 S = 2 ⋅16⋅27= 216.

Ответ: 216

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#22292

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 14,$ $BC = 5,$ $sin∠ABC = 6. 7$ Найдите площадь треугольника $ABC.$

$ABC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Найдем площадь треугольника по формуле через длины двух сторон и синус угла между ними. Так как $AB = 14,$ $BC = 5,$ $sin∠ABC = 6, 7$ то

1 1 6 S = 2 AB ⋅BC ⋅sin∠ABC = 2 ⋅14 ⋅5 ⋅7 = 30.

Ответ: 30