01 Задачи №25 из банка ФИПИ

Способ 1.

Обозначим точку пересечения и за Рассмотрим треугольник

1.

так как по условию, следовательно, — высота в треугольнике

2.

так как — биссектриса

Тогда в треугольнике отрезок — биссектриса и высота, следовательно, треугольник — равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. По свойству равнобедренного треугольника — медиана треугольника Тогда

В равнобедренном треугольнике с основанием боковые стороны равны. Тогда

так как — медиана треугольника — биссектриса в По свойству биссектрисы треугольника

Тогда

Продлим медиану на её длину. Пусть точка — полученная точка. Тогда Четырёхугольник — параллелограмм, так как его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, Следовательно, как накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей поэтому Тогда по двум углам. Запишем отношение подобия:

Так как по свойству параллелограмма, то

Значит,

Тогда

Следовательно,

Рассмотрим треугольник Следовательно, — прямоугольный. По теореме Пифагора

значит,

Рассмотрим треугольник В нём Следовательно, — прямоугольный. По теореме Пифагора

значит,

Найдём стороны треугольника

 

Способ 2.

Рассмотрим треугольник В нем — биссектриса и следовательно, треугольник — равнобедренный с основанием то есть

Так как — равнобедренный и — биссектриса, проведённая к основанию, то также является медианой. То есть

Поэтому

— биссектриса в треугольнике По свойству биссектрис

Пусть тогда

По теореме Менелая для и его секущей

следовательно,

в треугольнике , поэтому треугольник — прямоугольный. По теореме Пифагора

значит,

Следовательно,

в треугольнике , поэтому треугольник — прямоугольный. По теореме Пифагора

значит,

Таким образом, Тогда

Способ 1.

Обозначим точку пересечения и за Рассмотрим треугольник

1.

так как по условию, следовательно, — высота в треугольнике

2.

так как — биссектриса

Тогда в треугольнике отрезок — биссектриса и высота, следовательно, треугольник — равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. По свойству равнобедренного треугольника — медиана треугольника Тогда

В равнобедренном треугольнике с основанием боковые стороны равны. Тогда

так как — медиана треугольника — биссектриса в По свойству биссектрисы треугольника

Тогда

Продлим медиану на её длину. Пусть точка — полученная точка. Тогда Четырёхугольник — параллелограмм, так как его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, Следовательно, как накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей поэтому Тогда по двум углам. Запишем отношение подобия:

Так как по свойству параллелограмма, то

Значит,

Тогда

Следовательно,

Рассмотрим треугольник Следовательно, — прямоугольный. По теореме Пифагора

значит,

Рассмотрим треугольник В нём Следовательно, — прямоугольный. По теореме Пифагора

значит,

Найдём стороны треугольника

 

Способ 2.

Рассмотрим треугольник В нем — биссектриса и следовательно, треугольник — равнобедренный с основанием то есть

Так как — равнобедренный и — биссектриса, проведённая к основанию, то также является медианой. То есть

Поэтому

— биссектриса в треугольнике По свойству биссектрис

Пусть тогда

По теореме Менелая для и его секущей

следовательно,

в треугольнике , поэтому треугольник — прямоугольный. По теореме Пифагора

значит,

Следовательно,

в треугольнике , поэтому треугольник — прямоугольный. По теореме Пифагора

значит,

Таким образом, Тогда

Опустим из точки перпендикуляр на сторону По условию расстояние от точки до стороны равно 8, то есть

Проведем высоту параллелограмма к стороне проходящую через точку

Рассмотрим треугольники и В них так как и следовательно, треугольники и — прямоугольные.

В прямоугольных треугольниках и равны углы и так как — биссектриса угла , гипотенуза — общая. Поэтому прямоугольные треугольники и равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно,

Рассмотрим треугольники и В них так как и следовательно, треугольники и — прямоугольные.

В прямоугольных треугольниках и равны углы и так как — биссектриса угла , гипотенуза — общая. Поэтому прямоугольные треугольники и равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно,

Значит,

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к нему, поэтому

Опустим из точки перпендикуляр на сторону По условию расстояние от точки до стороны равно 1, то есть

Проведем высоту параллелограмма к стороне проходящую через точку

Рассмотрим треугольники и В них так как и следовательно, треугольники и — прямоугольные.

В прямоугольных треугольниках и равны углы и так как — биссектриса угла , гипотенуза — общая. Поэтому прямоугольные треугольники и равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно,

Рассмотрим треугольники и В них так как и следовательно, треугольники и — прямоугольные.

В прямоугольных треугольниках и равны углы и так как — биссектриса угла , гипотенуза — общая. Поэтому прямоугольные треугольники и равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно,

Значит,

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к нему, поэтому

Обозначим середину за точку Тогда Пусть пересекает прямую в точке

Рассмотрим треугольники и как накрест лежащие при и секущей как вертикальные. Тогда треугольники и равны по двум углам и стороне между ними.

Так как то как накрест лежащие при и секущей Так как — биссектриса то

Значит, треугольник — равнобедренный. Тогда

Из равенства треугольников и как соответственные элементы. Тогда

Проведём прямую параллельную прямой Так как то — параллелограмм. Значит, по свойству параллелограмма

Следовательно,

По теореме Пифагора для треугольника

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник — прямоугольный, Тогда чертеж имеет вид:

Значит, — высота трапеции Найдём площадь трапеции:

Обозначим середину за точку Тогда Пусть пересекает прямую в точке

Рассмотрим треугольники и как накрест лежащие при и секущей как вертикальные. Тогда треугольники и равны по двум углам и стороне между ними.

Так как то как накрест лежащие при и секущей Так как — биссектриса то

Значит, треугольник — равнобедренный. Тогда

Из равенства треугольников и как соответственные элементы. Тогда

Проведём прямую параллельную прямой Так как то — параллелограмм. Значит, по свойству параллелограмма

Следовательно,

По теореме Пифагора для треугольника

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник — прямоугольный, Тогда чертеж имеет вид:

Значит, — высота трапеции Найдём площадь трапеции:

Способ 1.

Пусть в трапеции угол равен а

Пусть — точка пересечения прямых и точка — середина точка — середина

 

 

По замечательному свойству трапеции точки лежат на одной прямой.

Пусть Тогда

Рассмотрим треугольник По теореме о сумме углов треугольника

Значит,

Тогда треугольник — прямоугольный. Тогда треугольник тоже прямоугольный.

В треугольнике отрезок — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

В треугольнике отрезок — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

Значит,

Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то её длина равна

По условию отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 20 и 17, поэтому

 

Способ 2.

Пусть в трапеции угол равен а

Пусть — середина точка — середина

Пусть тогда

 

 

Проведем тогда — параллелограмм, так как как основания трапеции. Тогда по свойству параллелограмма

Проведем тогда — параллелограмм, так как как основания трапеции. Тогда по свойству параллелограмма

Значит,

как соответственные углы при и секущей

как соответственные углы при и секущей

Рассмотрим треугольник По теореме о сумме углов треугольника

Значит,

Тогда треугольник — прямоугольный.

В треугольнике — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон — средняя линия, она равна

Значит,

Способ 1.

Пусть в трапеции угол равен а

Пусть — точка пересечения прямых и точка — середина точка — середина

 

 

По замечательному свойству трапеции точки лежат на одной прямой.

Пусть Тогда

Рассмотрим треугольник По теореме о сумме углов треугольника

Значит,

Тогда треугольник — прямоугольный. Тогда треугольник тоже прямоугольный.

В треугольнике отрезок — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

В треугольнике отрезок — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

Значит,

Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то её длина равна

По условию отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 10, поэтому

 

Способ 2.

Пусть в трапеции угол равен а

Пусть — середина точка — середина

Пусть тогда

 

 

Проведем тогда — параллелограмм, так как как основания трапеции. Тогда по свойству параллелограмма

Проведем тогда — параллелограмм, так как как основания трапеции. Тогда по свойству параллелограмма

Значит,

как соответственные углы при и секущей

как соответственные углы при и секущей

Рассмотрим треугольник По теореме о сумме углов треугольника

Значит,

Тогда треугольник — прямоугольный.

В треугольнике — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон — средняя линия, она равна

Таким образом,

Так как точки и равноудалены от точки то эти точки лежат на окружности с центром в точке и радиусом

Пусть

 

 

Так как четырёхугольник вписанный, то сумма противоположных углов равна значит,

Так как в треугольнике известно, что то треугольник — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

Тогда

Так как в треугольнике известно, что то треугольник — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

Проведём высоту в треугольнике Так как — равнобедренный, то — медиана и

В прямоугольном треугольнике

Следовательно,

Тогда

Так как точки и равноудалены от точки то эти точки лежат на окружности с центром в точке и радиусом

Пусть

 

 

Так как четырёхугольник вписанный, то сумма противоположных углов равна значит,

Так как в треугольнике известно, что то треугольник — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

Тогда

Так как в треугольнике известно, что то треугольник — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

Проведём высоту в треугольнике Так как — равнобедренный, то — медиана и

В прямоугольном треугольнике

Следовательно,

Тогда

Пусть — трапеция с основаниями и где Так как трапеция равнобедренная, то Пусть

 

Трапеция описанная, значит, по свойству описанного четырёхугольника

По условию периметр трапеции равен 200, то есть

Тогда

Пусть Тогда

Опустим высоты и Так как площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то

Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Так как и то

Рассмотрим четырёхугольник В нём и как основания трапеции, следовательно, Тогда — параллелограмм и по свойству параллелограмма.

Рассмотрим треугольники и В них как углы при основании равнобедренной трапеции, Тогда прямоугольные треугольники и равны по острому углу и гипотенузе. как соответственные элементы. В треугольнике по теореме Пифагора

Тогда

Следовательно,

Значит,

Так как то

Найдём

Проведём высоту трапеции проходящую через точку Так как — высота трапеции, то

Рассмотрим треугольники и В них как накрест лежащие углы при параллельных прямых и и секущей а как вертикальные.

Тогда по двум углам. Значит, отношение их соответственных высот равно коэффициенту подобия, то есть

Пусть Тогда

Так как расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного на эту прямую из точки, то расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания — длина то есть 8.

Пусть — трапеция с основаниями и где Так как трапеция равнобедренная, то Пусть

 

Трапеция описанная, значит, по свойству описанного четырёхугольника

По условию периметр трапеции равен 180, то есть

Тогда

Пусть Тогда

Опустим высоты и Так как площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то

Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Так как и то

Рассмотрим четырёхугольник В нём и как основания трапеции, следовательно, Тогда — параллелограмм и по свойству параллелограмма.

Рассмотрим треугольники и В них как углы при основании равнобедренной трапеции, Тогда прямоугольные треугольники и равны по острому углу и гипотенузе. как соответственные элементы. В треугольнике по теореме Пифагора

Тогда

Следовательно,

Значит,

Так как то

Найдём

Проведём высоту трапеции проходящую через точку Так как — высота трапеции, то

Рассмотрим треугольники и В них как накрест лежащие углы при параллельных прямых и и секущей а как вертикальные.

Тогда по двум углам. Значит, отношение их соответственных высот равно коэффициенту подобия, то есть

Пусть Тогда

Так как расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного на эту прямую из точки, то расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания — длина то есть 7,2.

Способ 1.

Проведём отрезок Тогда — искомое расстояние.

 

Так как то — прямоугольная трапеция. Следовательно,

Проведем отрезки и

— вписанный и опирается на дугу — угол между касательной и хордой следовательно, по теореме о угле между касательной и хордой

Так как то

Тогда по двум углам. Запишем отношение подобия:

— вписанный и опирается на дугу — угол между касательной и хордой следовательно, по теореме о угле между касательной и хордой

Так как то

Тогда по двум углам. Запишем отношение подобия:

По доказанному ранее:

Тогда

 

Способ 2.

Проведём отрезок Тогда — искомое расстояние.

Продлим стороны и до пересечения в точке

 

Так как то — прямоугольная трапеция. Следовательно,

Рассмотрим треугольники и В них — общий. Поэтому треугольники и подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

Пусть Тогда

По теореме о секущей и касательной

Рассмотрим треугольники и В них — общий. Поэтому треугольники и подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

Тогда

Способ 1.

Проведём отрезок Тогда — искомое расстояние.

 

Так как то — прямоугольная трапеция. Следовательно,

Проведем отрезки и

— вписанный и опирается на дугу — угол между касательной и хордой следовательно, по теореме о угле между касательной и хордой

Так как то

Тогда по двум углам. Запишем отношение подобия:

— вписанный и опирается на дугу — угол между касательной и хордой следовательно, по теореме о угле между касательной и хордой

Так как то

Тогда по двум углам. Запишем отношение подобия:

По доказанному ранее:

Тогда

 

Способ 2.

Проведём отрезок Тогда — искомое расстояние.

Продлим стороны и до пересечения в точке

 

Так как то — прямоугольная трапеция. Следовательно,

Рассмотрим треугольники и В них — общий. Поэтому треугольники и подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

Пусть Тогда

По теореме о секущей и касательной

Рассмотрим треугольники и В них — общий. Поэтому треугольники и подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

Тогда

Продлим до пересечения с описанной окружностью треугольника Обозначим полученную точку за

 

Пусть Так как то

Проведём и Так как и — вписанные и опираются на диаметр то

Рассмотрим треугольники и У них — общий, Тогда треугольники и подобны по двум углам. Запишем отношения подобия:

Рассмотрим треугольники и У них — общий, Тогда треугольники и подобны по двум углам. Запишем отношения подобия:

Получили:

Тогда

Найдём

Продлим до пересечения с описанной окружностью треугольника Обозначим полученную точку за

 

Пусть Так как то

Проведём и Так как и — вписанные и опираются на диаметр то

Рассмотрим треугольники и У них — общий, Тогда треугольники и подобны по двум углам. Запишем отношения подобия:

Рассмотрим треугольники и У них — общий, Тогда треугольники и подобны по двум углам. Запишем отношения подобия:

Получили:

Тогда

Найдём

Достроим полуокружность до окружности.Пусть — центр этой окружности, а — её точка пересечения со стороной Проведём отрезок Угол — вписанный и опирается на диаметр Следовательно, то есть — высота.

В треугольнике отрезки и — высоты. Тогда по условию они пересекаются в точке

Рассмотрим треугольники и В них — общий. Поэтому треугольники и подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

Следовательно,

Продлим до пересечения с окружностью в точке Проведём и Тогда как радиусы, следовательно, треугольник — равнобедренный. Значит, в равнобедренном треугольнике высота проведённая к основанию является медианой, поэтому

Найдём

Найдём

По теореме о двух секущих и

По доказанному ранее

Поэтому

Достроим полуокружность до окружности. Пусть — центр этой окружности, а — её точка пересечения со стороной Проведём отрезок Угол — вписанный и опирается на диаметр Следовательно, то есть — высота.

В треугольнике отрезки и — высоты. Тогда по условию они пересекаются в точке

Рассмотрим треугольники и В них — общий. Поэтому треугольники и подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

Следовательно,

Продлим до пересечения с окружностью в точке Проведём и Тогда как радиусы, следовательно, треугольник — равнобедренный. Значит, в равнобедренном треугольнике высота проведённая к основанию является медианой, поэтому

Найдём

Найдём

По теореме о двух секущих и

По доказанному ранее

Поэтому

Пусть и — центры меньшей и большей окружностей соответственно. Пусть и пересекаются в точке Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то

 

как касательные к меньшей окружности, проходящих через одну точку. как касательные к большей окружности, проходящих через одну точку. Значит,

Так как меньшая окружность вписана в угол то её центр лежит на биссектрисе угла поэтому — биссектриса угла точки лежат на одной прямой

Так как большая окружность вписана в угол то её центр лежит на биссектрисе угла поэтому — биссектриса угла точки лежат на одной прямой

Таким образом, так как и — один и тот же угол, то точки лежат на одной прямой

Пусть — точка касания двух окружностей. Точка касания окружностей лежит на одной прямой с центрами окружностей, следовательно, точка лежит на прямой

Пусть — точка пересечения и — точка пересечения и

Треугольник равнобедренный и — его биссектриса, следовательно, Треугольник равнобедренный и — его биссектриса, следовательно, Значит, Таким образом, в задаче требуется найти

Так как то Проведём тогда — прямоугольник. Следовательно, по свойству прямоугольника

Рассмотрим прямоугольный треугольник В нём

Треугольник подобен треугольнику по двум углам, так как — общий. Тогда

Треугольник подобен треугольнику по двум углам, так как — общий. Тогда как соответственные.

как соответственные углы при и секущей как соответственные углы при и секущей Тогда

как соответственные углы при и секущей как соответственные углы при и секущей Тогда

Тогда треугольник подобен треугольнику по двум углам. Следовательно,

Так как — высота в равнобедренном треугольнике опущенная на основание, то — биссектриса,

Так как — высота в равнобедренном треугольнике опущенная на основание, то — биссектриса,

Поэтому

Треугольник подобен треугольнику по двум углам, так как Тогда

Тогда

Пусть и — центры меньшей и большей окружностей соответственно. Пусть и пересекаются в точке Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то

 

как касательные к меньшей окружности, проходящих через одну точку. как касательные к большей окружности, проходящих через одну точку. Значит,

Так как меньшая окружность вписана в угол то её центр лежит на биссектрисе угла поэтому — биссектриса угла точки лежат на одной прямой

Так как большая окружность вписана в угол то её центр лежит на биссектрисе угла поэтому — биссектриса угла точки лежат на одной прямой

Таким образом, так как и — один и тот же угол, то точки лежат на одной прямой

Пусть — точка касания двух окружностей. Точка касания окружностей лежит на одной прямой с центрами окружностей, следовательно, точка лежит на прямой

Пусть — точка пересечения и — точка пересечения и

Треугольник равнобедренный и — его биссектриса, следовательно, Треугольник равнобедренный и — его биссектриса, следовательно, Значит, Таким образом, в задаче требуется найти

Так как то Проведём тогда — прямоугольник. Следовательно, по свойству прямоугольника

Рассмотрим прямоугольный треугольник В нём

Треугольник подобен треугольнику по двум углам, так как — общий. Тогда

Треугольник подобен треугольнику по двум углам, так как — общий. Тогда как соответственные.

как соответственные углы при и секущей как соответственные углы при и секущей Тогда

как соответственные углы при и секущей как соответственные углы при и секущей Тогда

Тогда треугольник подобен треугольнику по двум углам. Следовательно,

Так как — высота в равнобедренном треугольнике опущенная на основание, то — биссектриса,

Так как — высота в равнобедренном треугольнике опущенная на основание, то — биссектриса,

Поэтому

Треугольник подобен треугольнику по двум углам, так как Тогда

Тогда