.02 Задачи №25 из сборника И.В. Ященко

Пусть — трапеция с основаниями и где Так как трапеция равнобедренная, то Пусть

 

Трапеция описанная, значит, по свойству описанного четырёхугольника

По условию периметр трапеции равен 160, то есть

Тогда

Пусть Тогда

Опустим высоты и Так как площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то

Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Так как и то

Рассмотрим четырёхугольник В нём и как основания трапеции, следовательно, Тогда — параллелограмм и по свойству параллелограмма.

Рассмотрим треугольники и В них как углы при основании равнобедренной трапеции, Тогда прямоугольные треугольники и равны по острому углу и гипотенузе. как соответственные элементы. В треугольнике по теореме Пифагора

Тогда

Следовательно,

Значит,

Так как то

Найдём

Проведём высоту трапеции проходящую через точку Так как — высота трапеции, то

Рассмотрим треугольники и В них как накрест лежащие углы при параллельных прямых и и секущей а как вертикальные.

Тогда по двум углам. Значит, отношение их соответственных высот равно коэффициенту подобия, то есть

Пусть Тогда

Так как расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного на эту прямую из точки, то расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания — длина то есть 6,4.