02 Задачи №25 из сборника И.В. Ященко

Пусть — точка касания окружности и

По теореме о касательной и секущей

Рассмотрим треугольник Так как то

По теореме косинусов для треугольника

Значит,

Так как то треугольник — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

По теореме об угле между касательной и хордой для касательной и хорды получаем, что

Тогда и

По основному тригонометрическому тождеству

Так как то поэтому

Рассмотрим треугольник По теореме синусов

Пусть окружность касается сторон и в точках и соответственно.

Пусть Тогда — расстояние от точки до прямой По условию

Проведём Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то Тогда — расстояние от точки до прямой Следовательно, по условию. Значит, радиус окружности равен 5.

Проведём Тогда как радиус окружности. Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то Тогда следовательно, точки лежат на одной прямой и — высота параллелограмма. Тогда

Рассмотрим прямоугольный треугольник По теореме Пифагора

значит,

Пусть Так как отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны, то

Тогда

Посчитаем площадь треугольника двумя способами. С одной стороны, площадь треугольника равна произведению полупериметра и радиуса вписанной окружности. С другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Значит,

где — полупериметр треугольника — радиус его вписанной окружности, — его высота, проведённая к стороне

Найдём полупериметр треугольника

Высота в треугольнике — расстояние от точки до прямой Тогда как расстояние между параллельными прямыми и Значит, а поэтому

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, поэтому

Проведём Тогда как соответственные углы, образованные параллельными прямыми и и секущей

Проведём как накрест лежащие углы при и секущей

— вписанный и опирается на дугу — вписанный и опирается на дугу Так как то дуги и равны, следовательно, хорды, которые их стягивают, тоже равны, то есть

Рассмотрим четырёхугольник Так как он вписанный, то по свойству вписанного четырехугольника

Проведём Рассмотрим треугольник Запишем теорему косинусов для него:

Пусть радиус окружности равен Заметим, что описанной окружностью для будет эта же окружность. По теореме синусов для треугольника

Способ 1.

Обозначим точку пересечения и за Рассмотрим треугольник

1.

так как по условию, следовательно, — высота в треугольнике

2.

так как — биссектриса

Тогда в треугольнике отрезок — биссектриса и высота, следовательно, треугольник — равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. По свойству равнобедренного треугольника — медиана треугольника Тогда

В равнобедренном треугольнике с основанием боковые стороны равны. Тогда

так как — медиана треугольника — биссектриса в По свойству биссектрисы треугольника

Тогда

Продлим медиану на её длину. Пусть точка — полученная точка. Тогда Четырёхугольник — параллелограмм, так как его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, Следовательно, как накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей поэтому Тогда по двум углам. Запишем отношение подобия:

Так как по свойству параллелограмма, то

Значит,

Тогда

Следовательно,

Рассмотрим треугольник Следовательно, — прямоугольный. По теореме Пифагора

значит,

Рассмотрим треугольник В нём Следовательно, — прямоугольный. По теореме Пифагора

значит,

Найдём стороны треугольника

 

Способ 2.

Рассмотрим треугольник В нем — биссектриса и следовательно, треугольник — равнобедренный с основанием то есть

Так как — равнобедренный и — биссектриса, проведённая к основанию, то также является медианой. То есть

Поэтому

— биссектриса в треугольнике По свойству биссектрис

Пусть тогда

По теореме Менелая для и его секущей

следовательно,

в треугольнике , поэтому треугольник — прямоугольный. По теореме Пифагора

значит,

Следовательно,

в треугольнике , поэтому треугольник — прямоугольный. По теореме Пифагора

значит,

Таким образом, Тогда

Площади треугольников, имеющих одинаковую высоту, относятся как основания, к которым проведена эта высота. Так как у треугольников и общая высота, проведенная к основаниям и соответственно, то

Пусть тогда

Так как у треугольников и общая высота, проведенная к основаниям и соответственно, то

Пусть тогда

Тогда

Так как в 5 раз меньше имеем

Тогда

Таким образом,

Следовательно,

Обозначим середину за точку Тогда Пусть пересекает прямую в точке

Рассмотрим треугольники и как накрест лежащие при и секущей как вертикальные. Тогда треугольники и равны по двум углам и стороне между ними.

Так как то как накрест лежащие при и секущей Так как — биссектриса то

Значит, треугольник — равнобедренный. Тогда

Из равенства треугольников и как соответственные элементы. Тогда

Проведём прямую параллельную прямой Так как то — параллелограмм. Значит, по свойству параллелограмма

Следовательно,

По теореме Пифагора для треугольника

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник — прямоугольный, Тогда чертеж имеет вид:

Значит, — высота трапеции Найдём площадь трапеции:

Пусть — биссектриса

Пусть — высота Пусть

— биссектриса в треугольнике По свойству биссектрисы:

Пусть тогда

— высота в треугольнике следовательно, треугольник — прямоугольный. Значит

Основное тригонометрическое тождество:

Поэтому

Заметим, что а не так как следовательно,

По теореме синусов в

Пусть — биссектриса

Пусть — высота Пусть

— биссектриса в треугольнике По свойству биссектрисы:

Пусть тогда

— высота в треугольнике следовательно, треугольник — прямоугольный. Значит

Основное тригонометрическое тождество:

Поэтому

Заметим, что а не так как следовательно,

По теореме синусов в

Достроим полуокружность до окружности. Пусть — центр этой окружности, а — её точка пересечения со стороной Проведём отрезок Угол — вписанный и опирается на диаметр Следовательно, то есть — высота.

В треугольнике отрезки и — высоты. Тогда по условию они пересекаются в точке

Рассмотрим треугольники и В них — общий. Поэтому треугольники и подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

Следовательно,

Продлим до пересечения с окружностью в точке Проведём и Тогда как радиусы, следовательно, треугольник — равнобедренный. Значит, в равнобедренном треугольнике высота проведённая к основанию является медианой, поэтому

Найдём

Найдём

По теореме о двух секущих и

По доказанному ранее

Поэтому

Продлим до пересечения с описанной окружностью треугольника Обозначим полученную точку за

 

Пусть Так как то

Проведём и Так как и — вписанные и опираются на диаметр то

Рассмотрим треугольники и У них — общий, Тогда треугольники и подобны по двум углам. Запишем отношения подобия:

Рассмотрим треугольники и У них — общий, Тогда треугольники и подобны по двум углам. Запишем отношения подобия:

Получили:

Тогда

Найдём

Продлим до пересечения с описанной окружностью треугольника Обозначим полученную точку за

 

Пусть Так как то

Проведём и Так как и — вписанные и опираются на диаметр то

Рассмотрим треугольники и У них — общий, Тогда треугольники и подобны по двум углам. Запишем отношения подобия:

Рассмотрим треугольники и У них — общий, Тогда треугольники и подобны по двум углам. Запишем отношения подобия:

Получили:

Тогда

Найдём

Пусть и — центры меньшей и большей окружностей соответственно. Пусть и пересекаются в точке Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то

 

как касательные к меньшей окружности, проходящих через одну точку. как касательные к большей окружности, проходящих через одну точку. Значит,

Так как меньшая окружность вписана в угол то её центр лежит на биссектрисе угла поэтому — биссектриса угла точки лежат на одной прямой

Так как большая окружность вписана в угол то её центр лежит на биссектрисе угла поэтому — биссектриса угла точки лежат на одной прямой

Таким образом, так как и — один и тот же угол, то точки лежат на одной прямой

Пусть — точка касания двух окружностей. Точка касания окружностей лежит на одной прямой с центрами окружностей, следовательно, точка лежит на прямой

Пусть — точка пересечения и — точка пересечения и

Треугольник равнобедренный и — его биссектриса, следовательно, Треугольник равнобедренный и — его биссектриса, следовательно, Значит, Таким образом, в задаче требуется найти

Так как то Проведём тогда — прямоугольник. Следовательно, по свойству прямоугольника

Рассмотрим прямоугольный треугольник В нём

Треугольник подобен треугольнику по двум углам, так как — общий. Тогда

Треугольник подобен треугольнику по двум углам, так как — общий. Тогда как соответственные.

как соответственные углы при и секущей как соответственные углы при и секущей Тогда

как соответственные углы при и секущей как соответственные углы при и секущей Тогда

Тогда треугольник подобен треугольнику по двум углам. Следовательно,

Так как — высота в равнобедренном треугольнике опущенная на основание, то — биссектриса,

Так как — высота в равнобедренном треугольнике опущенная на основание, то — биссектриса,

Поэтому

Треугольник подобен треугольнику по двум углам, так как Тогда

Тогда

Пусть и — центры меньшей и большей окружностей соответственно. Пусть и пересекаются в точке Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то

 

как касательные к меньшей окружности, проходящих через одну точку. как касательные к большей окружности, проходящих через одну точку. Значит,

Так как меньшая окружность вписана в угол то её центр лежит на биссектрисе угла поэтому — биссектриса угла точки лежат на одной прямой

Так как большая окружность вписана в угол то её центр лежит на биссектрисе угла поэтому — биссектриса угла точки лежат на одной прямой

Таким образом, так как и — один и тот же угол, то точки лежат на одной прямой

Пусть — точка касания двух окружностей. Точка касания окружностей лежит на одной прямой с центрами окружностей, следовательно, точка лежит на прямой

Пусть — точка пересечения и — точка пересечения и

Треугольник равнобедренный и — его биссектриса, следовательно, Треугольник равнобедренный и — его биссектриса, следовательно, Значит, Таким образом, в задаче требуется найти

Так как то Проведём тогда — прямоугольник. Следовательно, по свойству прямоугольника

Рассмотрим прямоугольный треугольник В нём

Треугольник подобен треугольнику по двум углам, так как — общий. Тогда

Треугольник подобен треугольнику по двум углам, так как — общий. Тогда как соответственные.

как соответственные углы при и секущей как соответственные углы при и секущей Тогда

как соответственные углы при и секущей как соответственные углы при и секущей Тогда

Тогда треугольник подобен треугольнику по двум углам. Следовательно,

Так как — высота в равнобедренном треугольнике опущенная на основание, то — биссектриса,

Так как — высота в равнобедренном треугольнике опущенная на основание, то — биссектриса,

Поэтому

Треугольник подобен треугольнику по двум углам, так как Тогда

Тогда

Пусть и — основания трапеции причем по условию. Пусть — точка пересечения диагоналей трапеции, а — прямая, параллельная основаниям, которая проходит через точку (точка лежит на точка — на

Рассмотрим треугольники и Они подобны по двум углам: как вертикальные, как накрест лежащие, образованыые параллельными прямыми и и секущей Тогда

Пусть и — высоты треугольников и соответственно. Тогда треугольники и подобны по двум углам: и Следовательно,

Рассмотрим треугольники и Они подобны по двум углам: — общий, как соответственные, образованные параллельными прямыми и и секущей Тогда

Аналогично рассмотрим треугольники и докажем, что они подобны, и выведем

Запишем формулу площади трапеции

Запишем формулу площади трапеции

Тогда

Способ 1.

Проведём отрезок Тогда — искомое расстояние.

 

Так как то — прямоугольная трапеция. Следовательно,

Проведем отрезки и

— вписанный и опирается на дугу — угол между касательной и хордой следовательно, по теореме о угле между касательной и хордой

Так как то

Тогда по двум углам. Запишем отношение подобия:

— вписанный и опирается на дугу — угол между касательной и хордой следовательно, по теореме о угле между касательной и хордой

Так как то

Тогда по двум углам. Запишем отношение подобия:

По доказанному ранее:

Тогда

 

Способ 2.

Проведём отрезок Тогда — искомое расстояние.

Продлим стороны и до пересечения в точке

Так как то — прямоугольная трапеция. Следовательно,

Рассмотрим треугольники и В них — общий. Поэтому треугольники и подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

Пусть Тогда

По теореме о секущей и касательной

Рассмотрим треугольники и В них — общий. Поэтому треугольники и подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

Тогда

Так как точки и равноудалены от точки то эти точки лежат на окружности с центром в точке и радиусом

Пусть

 

 

Так как четырёхугольник вписанный, то сумма противоположных углов равна значит,

Так как в треугольнике известно, что то треугольник — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

Тогда

Так как в треугольнике известно, что то треугольник — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

Проведём высоту в треугольнике Так как — равнобедренный, то — медиана и

В прямоугольном треугольнике

Следовательно,

Тогда

Так как точки и равноудалены от точки то эти точки лежат на окружности с центром в точке и радиусом

Пусть

 

 

Так как четырёхугольник вписанный, то сумма противоположных углов равна значит,

Так как в треугольнике известно, что то треугольник — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

Тогда

Так как в треугольнике известно, что то треугольник — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

Проведём высоту в треугольнике Так как — равнобедренный, то — медиана и

В прямоугольном треугольнике

Следовательно,

Тогда

Так как — медиана, то

Проведём так, что По теореме Фалеса

Пусть Тогда Значит,

Так как площади треугольников с равными углами относятся как произведение сторон, заключающих эти углы, то

Пусть Тогда

Так как медиана делит треугольник на два треугольника равной площади, то

Площади треугольников с равными высотами относятся как стороны, к которым проведены эти высоты, поэтому

Найдём отношение площади треугольника к площади четырёхугольника

— трапеция с основаниями и По условию

Пусть

По свойству средней линии длина средней линии равна полусумме оснований:

Проведем через точку прямую

Рассмотрим четырехугольник

Тогда — параллелограмм по определению.

По свойству параллелограмма

Рассмотрим треугольник

1.

2.

3.

Тогда

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник прямоугольный, Значит, — высота трапеции

Так как площаль трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту, то

Пусть не умаляю общности и Проведем через точку прямую, параллельную диагонали Пусть она пересекает прямую в точке Тогда — параллелограмм, так как и значит, и

Вспомним, что длина средней линии равна полусумме длин оснований, значит,

следовательно,

Рассмотрим треугольник В нем и Заметим, что значит, по теореме, обратной теореме Пифагора, — прямоугольный. Следовательно, — высота трапеции Тогда