Тема №25. Геометрические задачи повышенной сложности

01 Задачи №25 из банка ФИПИ

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела №25. геометрические задачи повышенной сложности
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#105712

Точки M  и N  лежат на стороне AC  треугольника ABC  на расстояниях соответственно 18 и 22 от вершины A.  Найдите радиус окружности, проходящей через точки M  и N  и касающейся луча AB,  если           √ --
cos∠BAC  = --11.
           6

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 2

Показать ответ и решение

Пусть K  — точка касания окружности и AB.

ABCKMN1188

По теореме о касательной и секущей

        2
     A√K--=-AM √⋅AN--=-18⋅22 √--
AK  =  18⋅22=   9⋅2⋅2⋅11= 6 11

Рассмотрим треугольник AKM.  Так как ∠KAM   =∠BAC,  то

                      √--
cos∠KAM   =cos∠BAC  = -11.
                       6

По теореме косинусов для треугольника AKM   :

KM2  = AM2 + AK2 − 2⋅AM  ⋅AK  ⋅cos∠KAM   =
        2  ( √--)2        √ -- √11
    = 18 +  6 11  − 2⋅18⋅6  11 ⋅-6--=
        = 324+ 36⋅11− 36⋅11= 324.

Значит, KM  =18.

Так как AM  = KM  = 18,  то треугольник AKM  — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому ∠AKM   = ∠KAM.

По теореме об угле между касательной и хордой для касательной AK  и хорды KM  получаем, что

∠AKM   = 1K⌣M  = ∠KNM.
         2

Тогда ∠KNM   = ∠KAM  и

                       √11
cos∠KNM  = cos∠KAM  =  -6-.

По основному тригонометрическому тождеству

  2           2
sin ∠KNM   + cos ∠KNM   = 1
             (√11-)2
 sin2∠KNM   +  --6-  = 1

    sin2∠KNM   + 11-= 1
                36
     sin2∠KNM   = 25
                 36

Так как 0∘ < ∠KNM  < 180∘,  то sin ∠KNM  > 0,  поэтому

           ∘---
sin∠KNM   =   25= 5.
             36  6

Рассмотрим треугольник KNM.  По теореме синусов

   KM
sin∠KNM-- = 2R

    185= 2R
     6
   3,6⋅6 =2R
    R =10,8
Ответ: 10,8
Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#105703

В параллелограмме ABCD  проведена диагональ AC.  Точка O  является центром окружности, вписанной в треугольник ABC.  Расстояния от точки O  до точки A  и прямых AD  и AC  соответственно равны 13, 6 и 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 4

Показать ответ и решение

Пусть окружность касается сторон AC,  AB  и BC  в точках K,  P  и M  соответственно.

Пусть OH  ⊥ AD,  H ∈AD.  Тогда OH  — расстояние от точки O  до прямой AD.  По условию OH = 6,  OA = 13.

yyxx1hABCDOMHPK2

Проведём OK.  Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то OK ⊥ AC.  Тогда OK  — расстояние от точки O  до прямой AC.  Следовательно, OK  = 5  по условию. Значит, радиус окружности равен 5.

Проведём OM.  Тогда OM  = 5  как радиус окружности. Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то OM  ⊥ BC.  Тогда OM  ⊥ BC,  OH ⊥ AD,  BC ∥ AD,  следовательно, точки M,  O,  H  лежат на одной прямой и MH  — высота параллелограмма. Тогда

MH  =OM  + OH = 5+ 6 =11.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOK.  По теореме Пифагора

AO2 = AK2 + OK2,

значит,

     ∘ ----------  ∘-------
AK =   AO2 − OK2 =  132− 52 =
      √-------  √---
    =  169− 25=  144 =12.

Пусть BP  =x,  CM  =y.  Так как отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны, то

pict

Тогда

pict

Посчитаем площадь треугольника ABC  двумя способами. С одной стороны, площадь треугольника равна произведению полупериметра и радиуса вписанной окружности. С другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Значит,

p ⋅r = 1 ⋅h ⋅BC,
      2

где p  — полупериметр треугольника ABC,  r  — радиус его вписанной окружности, h  — его высота, проведённая к стороне BC.

Найдём полупериметр треугольника ABC  :

    p=  AB-+BC--+AC--=
             2
  (12+-x)+(x-+y)+-(12+-y)
=            2           =
    2x+ 2y+ 24
  = ----2----- =x + y+ 12

Высота в треугольнике ABC  — расстояние от точки A  до прямой BC.  Тогда h = MH  как расстояние между параллельными прямыми AD  и BC.  Значит, h = 11,  r = 5,  а BC  = x+ y,  поэтому

(x+ y +12)⋅5= 1 ⋅h⋅BC
              2
 (BC  +12)⋅5= 1 ⋅11⋅BC
             2
  (BC + 12)⋅10 = 11BC
   10BC + 120= 11BC
       BC  =120

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, поэтому

SABCD = BC ⋅HM  = 120⋅11= 1320.
Ответ: 1320
Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#105602

Четырёхугольник ABCD  со сторонами AB = 39  и CD  =12  вписан в окружность. Диагонали AC  и BD  пересекаются в точке K,  причём ∠AKB  = 60∘.  Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 10

Показать ответ и решение

Проведём DM  ∥AC.  Тогда ∠BKA  = ∠BDM   = 60∘ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми DM  и AC  и секущей BD.

Проведём AM.  ∠CAD  =∠ADM  как накрест лежащие углы при AC ∥ MD  и секущей AD.

CDABMK61110222∘0∘

∠CAD  — вписанный и опирается на дугу CD,  ∠ADM  — вписанный и опирается на дугу AM.  Так как ∠CAD  = ∠ADM,  то дуги CD  и AM  равны, следовательно, хорды, которые их стягивают, тоже равны, то есть AM  = CD = 12.

Рассмотрим четырёхугольник ABDM.  Так как он вписанный, то по свойству вписанного четырехугольника

∠MAB  + ∠MDB  = 180∘ ⇒ ∠MAB  = 180∘− 60∘ = 120∘

Проведём BM.  Рассмотрим треугольник ABM.  Запишем теорему косинусов для него:

BM2  = AB2 + AM2 − 2⋅AB ⋅AM ⋅cos∠BAM
    BM2 = 1521+ 144 − 2 ⋅39 ⋅12⋅cos120∘
                         (   )
        BM2  = 1665− 936 ⋅ − 1
           2               2√---
       BM   = 2133⇒ BM  = 3 237

Пусть радиус окружности равен R.  Заметим, что описанной окружностью для △ ABM  будет эта же окружность. По теореме синусов для треугольника ABM

   sBinM120∘ =2R
    √ ---
   3-√237 = 2R
     -32
     ∘ ----   --
R = 3  237= 3√79
        3
Ответ:

 √ --
3  79

Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#73660

В треугольнике ABC  биссектриса BE  и медиана AD  перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 24. Найдите стороны треугольника ABC.

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 11

Показать ответ и решение

Способ 1.

Обозначим точку пересечения BE  и AD  за O.  Рассмотрим треугольник ABD  :

1.
∠BOD  = ∠BOA = 90∘,  так как BE  ⊥ AD  по условию, следовательно, BO  — высота в треугольнике ABD.
2.
∠ABO  =∠DBO,  так как BE  — биссектриса ∠ABC.

ABCDEFO6√6√6181212513-

Тогда в треугольнике ABD  отрезок BO  — биссектриса и высота, следовательно, треугольник ABD  — равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. По свойству равнобедренного треугольника BO  — медиана треугольника ABD.  Тогда

AO = OD  = 1AD = 1 ⋅24= 12.
           2     2

В равнобедренном треугольнике ABD  с основанием AD  боковые стороны равны. Тогда

AB = BD = 1BC,
          2

так как AD  — медиана треугольника ABC.  BE  — биссектриса в △ ABC.  По свойству биссектрисы треугольника

AE    AB    1
EC- = BC-=  2  ⇒   EC = 2AE.

Тогда

AE- = --AE----= -AE- = 1.
AC    AE + EC   3AE    3

Продлим медиану AD  на её длину. Пусть точка F  — полученная точка. Тогда AD  =DF,  BD  = DC.  Четырёхугольник ABF C  — параллелограмм, так как его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, BF  ∥AC.  Следовательно, ∠F AC = ∠BF A  как накрест лежащие при параллельных прямых AC  и F B  и секущей AF.  BE  ⊥AD,  поэтому ∠BOF = ∠AOE  = 90∘.  Тогда △ AOE ∼ △F OB  по двум углам. Запишем отношение подобия:

OE-= AE-.
BO   BF

Так как AC = BF  по свойству параллелограмма, то

AE-   AE-  1
BF =  AC = 3.

Значит,

OE- = 1  ⇒   BO = 3OE.
BO    3

Тогда

OE      OE         OE       OE    1
EB-= OE-+-OB- = OE-+-3OE-= 4OE- = 4
             1     1
        OE = 4BE = 4 ⋅24= 6

Следовательно,

BO = BE − OE = 24− 6= 18.

Рассмотрим треугольник BOA.            ∘
∠BOA  = 90.  Следовательно, △ BOA  — прямоугольный. По теореме Пифагора

AB2 = AO2 + OB2,

значит,

      ∘----------  ∘ --------
AB  =  AO2 + BO2 =   122 +182 =
   = √144+-324= √468-= 6√13.

Рассмотрим треугольник AOE.  В нём ∠AOE = 90∘.  Следовательно, △ AOE  — прямоугольный. По теореме Пифагора

AE2 = AO2 + OE2,

значит,

     ∘ ---------- ∘ -------
AE =   AO2 +OE2  =  122+ 62 =
     √-------  √ ---   √-
   =  144+ 36=   180 = 6 5.

Найдём стороны треугольника ABC  :

pict

 

Способ 2.

Рассмотрим треугольник ABD.  В нем BO  — биссектриса и BO ⊥ AD,  следовательно, треугольник ABD  — равнобедренный с основанием AD,  то есть AB = BD.

Так как △ ABD  — равнобедренный и BO  — биссектриса, проведённая к основанию, то BO  также является медианой. То есть AO = OD.

Поэтому

AD  = AO +OD  = 2AO = 24,
      AO = 12= OD.

BE  — биссектриса в треугольнике ABC.  По свойству биссектрис

AE-=  AB-= ---AB--- = AB--=  AB--= 1.
EC    BC   BD + DC    2DB    2AB    2

Пусть EA  =x,  тогда CE = 2x.

ABCDEOx211x22

По теореме Менелая для △ CBE  и его секущей AD :

  CD-⋅ BO ⋅ EA-= 1
  DB  OE   AC
1  BO- ---EA---
1 ⋅OE ⋅CE + EA  = 1
   1  BO   x
   1 ⋅OE-⋅3x = 1
    1 BO   1
    1 ⋅OE ⋅3 = 1

      BO- = 3
      OE
     BO = 3OE

BE = BO + OE,  следовательно,

    BE = 4OE
OE = BE- = 24 =6
      4    4
  BO = 3OE = 18

√√ --
ABCDEO661212618 513

BO ⊥ AO  в треугольнике ABO  , поэтому треугольник ABO  — прямоугольный. По теореме Пифагора

   2     2     2
AB  = AO  + BO ,

значит,

      ∘----------  ∘ --------
AB  =  AO2 + BO2 =   122 +182 =
   = √144+-324= √468-= 6√13.

Следовательно,

                             √--
BC = BD + DC = 2BD = 2AB = 12 13.

AO ⊥ EO  в треугольнике AEO  , поэтому треугольник AEO  — прямоугольный. По теореме Пифагора

   2     2     2
EA  = AO  + EO ,

значит,

     ∘ ---------- ∘ -------
EA =   AO2 +EO2  =  122+ 62 =
   = √144+-36= √180-= 6√5.

Таким образом,           √-
x = EA = 6 5.  Тогда

                            √-
AC = CE + EA = 2x + x= 3x= 18 5.
Ответ:

 √ --
6  13;   √ --
12  13;    √-
18 5

Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#99081

Боковые стороны AB  и CD  трапеции ABCD  равны соответственно 10 и 26, а основание BC  равно 1. Биссектриса угла ADC  проходит через середину стороны AB.  Найдите площадь трапеции.

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 15

Показать ответ и решение

Обозначим середину AB  за точку M.  Тогда BM  = AM.  Пусть DM  пересекает прямую BC  в точке P.

CPDABEM2111225064

Рассмотрим треугольники PBM  и DAM.  ∠PBM  = ∠DAM  как накрест лежащие при PC ∥AD  и секущей AB,  ∠PMB  = ∠AMD  как вертикальные. Тогда треугольники P BM  и DAM  равны по двум углам и стороне между ними.

Так как PC ∥ AD,  то ∠CP D = ∠PDA  как накрест лежащие при PC ∥AD  и секущей PD.  Так как DM  — биссектриса ∠CDA,  то

∠CP D = ∠P DA = ∠CDP.

Значит, треугольник P CD  — равнобедренный. Тогда

PC = CD = 26.

Из равенства треугольников P BM  и DAM  BP = AD  как соответственные элементы. Тогда

AD  =BP  = CP − BC = 26− 1= 25.

Проведём прямую CE,  параллельную прямой AB.  Так как BC ∥ AE,  AB ∥ CE,  то ABCE  — параллелограмм. Значит, по свойству параллелограмма

pict

Следовательно,

ED = AD − AE = 25− 1= 24.

По теореме Пифагора для треугольника CED  :

   2     2    2    2    2
CD  = CE  +ED   =10 + 24 =
   = 100+ 576= 676= 262.

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник CED  — прямоугольный,           ∘
∠CED  = 90 .  Тогда чертеж имеет вид:

211122ABCDPEM5064

Значит, CE  — высота трапеции ABCD.  Найдём площадь трапеции:

        BC + AD        1+ 25
SABCD = ----2--- ⋅CE  = --2--⋅10= 130.
Ответ: 130
Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#100358

В треугольнике ABC  биссектриса угла A  делит высоту, проведённую из вершины B,  в отношении 5:4,  считая от точки B.  Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC,  если BC = 6.

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 17

Показать ответ и решение

Пусть AE  — биссектриса ∠BAC.

Пусть BH  — высота △ ABC.  Пусть AE ∩ BH = F.

54ABCHFE45xxyy

AF  — биссектриса в треугольнике ABH.  По свойству биссектрисы:

AH    HF   4
AB- = FB-= 5

Пусть AH  = 4y,  тогда      5⋅AH    5⋅4y
AB = --4---= -4-- =5y.

BH  — высота в треугольнике ABC,  следовательно, треугольник ABH  — прямоугольный. Значит

       AH-   4y   4
cos∠A = AB  = 5y = 5

Основное тригонометрическое тождество:

sin2α +cos2α= 1.

Поэтому

        ∘----------
sin ∠A =  1 − cos2∠A =
    ∘ ---(--)2
   =  1 −  4   = 3
           5     5

Заметим, что sin∠A = √1-− cos2∠A,  а не sin∠A = −√1-−-cos2∠A,-  так как 0 <∠A  <180∘,  следовательно, sin∠A  >0.

По теореме синусов в △ ABC  :

      BC      6
R = 2sin-∠A-= 2⋅ 3-= 5.
               5
Ответ: 5
Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#37459

В треугольнике ABC  биссектриса угла A  делит высоту, проведённую из вершины B,  в отношении 13:12,  считая от точки B.  Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC,  если BC = 20.

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 18

Показать ответ и решение

Пусть AE  — биссектриса ∠BAC.

Пусть BH  — высота △ ABC.  Пусть AE ∩ BH = F.

11ABCHFE113223xxyy

AF  — биссектриса в треугольнике ABH.  По свойству биссектрисы:

AH   HF    12
AB-= F-B = 13

Пусть AH  = 12y,  тогда      13⋅AH    13 ⋅12y
AB = --12-- = --12---= 13y.

BH  — высота в треугольнике ABC,  следовательно, треугольник ABH  — прямоугольный. Значит

       AH-   12y   12
cos∠A =  AB = 13y = 13

Основное тригонометрическое тождество:

sin2α +cos2α= 1.

Поэтому

        ∘----------
sin ∠A =  1 − cos2∠A =
    ∘---(---)2
  =  1 −  12   = 5-
          13     13

Заметим, что sin∠A = √1-− cos2∠A,  а не sin∠A = −√1-−-cos2∠A,-  так как 0 <∠A  <180∘,  следовательно, sin∠A  >0.

По теореме синусов в △ ABC  :

      BC      20
R = 2sin∠A-= 2⋅-5-= 26.
                13
Ответ: 26
Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#101782

На стороне BC  остроугольного треугольника ABC  как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD  в точке M,  AD = 45,  MD  = 15,  H  — точка пересечения высот треугольника ABC.  Найдите AH.

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 19

Показать ответ и решение

Достроим полуокружность до окружности. Пусть O  — центр этой окружности, а N  — её точка пересечения со стороной AC.  Проведём отрезок BN.  Угол ∠BNC  — вписанный и опирается на диаметр BC.  Следовательно, ∠BNC  = 90∘,  то есть BN  — высота.

В треугольнике ABC  отрезки BN  и AD  — высоты. Тогда по условию они пересекаются в точке H.

ABCDOMHNP

Рассмотрим треугольники AHN  и ACD.  В них ∠ANH   =90∘ =∠ADC,  ∠A  — общий. Поэтому треугольники AHN  и ACD  подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AH   AN
AC-= AD-.

Следовательно,

AH ⋅AD = AN  ⋅AC.

Продлим AD  до пересечения с окружностью в точке P.  Проведём OM  и OP.  Тогда OM  = OP  как радиусы, следовательно, треугольник MOP  — равнобедренный. Значит, в равнобедренном треугольнике MOP  высота OD,  проведённая к основанию MP,  является медианой, поэтому

MD = P D = 15.

Найдём AM :

AM  =AD  − MD = 45− 15= 30.

Найдём AP :

AP  =AD  +P D = 45+ 15 = 60.

По теореме о двух секущих AC  и AP :

AN ⋅AC  =AM  ⋅AP = 30⋅60.

По доказанному ранее

AH  ⋅AD  = AN ⋅AC = 30⋅60.

Поэтому

AH = 30⋅60 = 30⋅60= 2⋅20 =40.
      AD      45
Ответ: 40
Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#55284

В треугольнике ABC  известны длины сторон AB = 36,  AC = 54,  точка O  — центр окружности, описанной около треугольника ABC.  Прямая BD,  перпендикулярная прямой AO,  пересекает сторону AC  в точке D.  Найдите CD.

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 21

Показать ответ и решение

Продлим AO  до пересечения с описанной окружностью треугольника ABC.  Обозначим полученную точку за E.

35ABCEDKO64

 

Пусть BD  ∩AO = K.  Так как BD  ⊥AO,  то

∠AKB  = ∠AKD  = 90∘.

Проведём BE  и CE.  Так как ∠ABE  и ∠ACE  — вписанные и опираются на диаметр AE,  то

∠ABE  = ∠ACE = 90∘.

Рассмотрим треугольники ABK  и AEB.  У них ∠A  — общий, ∠AKB  = ∠ABE  = 90∘.  Тогда треугольники ABK  и AEB  подобны по двум углам. Запишем отношения подобия:

AB    AK                   2
AE- = AB-  ⇒   AK ⋅AE  =AB  .

Рассмотрим треугольники AKD  и ACE.  У них ∠A  — общий,                   ∘
∠AKD  = ∠ACE  = 90 .  Тогда треугольники AKD  и ACE  подобны по двум углам. Запишем отношения подобия:

AK- = AD-   ⇒   AK ⋅AE = AC ⋅AD.
 AC   AE

Получили:

AB2 = AK ⋅AE = AC ⋅AD
        2
     AB  = AC ⋅AD

Тогда

     AB2-   362-  4⋅9⋅4-⋅9-
AD =  AC  = 54 =    54   =
        4⋅9-⋅4-⋅9
      =  9⋅3 ⋅2 = 24.

Найдём CD :

CD  = AC − AD = 54− 24 = 30.
Ответ: 30
Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы

2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#47408

В треугольнике ABC  известны длины сторон AB = 12,  AC = 72,  точка O  — центр окружности, описанной около треугольника ABC.  Прямая BD,  перпендикулярная прямой AO,  пересекает сторону AC  в точке D.  Найдите CD.

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 22

Показать ответ и решение

Продлим AO  до пересечения с описанной окружностью треугольника ABC.  Обозначим полученную точку за E.

17ABCEDKO22

 

Пусть BD  ∩AO = K.  Так как BD  ⊥AO,  то

∠AKB  = ∠AKD  = 90∘.

Проведём BE  и CE.  Так как ∠ABE  и ∠ACE  — вписанные и опираются на диаметр AE,  то

∠ABE  = ∠ACE = 90∘.

Рассмотрим треугольники ABK  и AEB.  У них ∠A  — общий, ∠AKB  = ∠ABE  = 90∘.  Тогда треугольники ABK  и AEB  подобны по двум углам. Запишем отношения подобия:

AB    AK                   2
AE- = AB-  ⇒   AK ⋅AE  =AB  .

Рассмотрим треугольники AKD  и ACE.  У них ∠A  — общий,                   ∘
∠AKD  = ∠ACE  = 90 .  Тогда треугольники AKD  и ACE  подобны по двум углам. Запишем отношения подобия:

AK- = AD-   ⇒   AK ⋅AE = AC ⋅AD.
 AC   AE

Получили:

AB2 = AK ⋅AE = AC ⋅AD
        2
     AB  = AC ⋅AD

Тогда

     AB2-   122-  4⋅3⋅4-⋅3-
AD =  AC  = 72 =    72   =
         4⋅3⋅4⋅3-
      =  3⋅3⋅4⋅2 =2.

Найдём CD :

CD = AC − AD = 72− 2= 70.
Ответ: 70
Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#42344

Окружности радиусов 12 и 20 касаются внешним образом. Точки A  и B  лежат на первой окружности, точки C  и D  — на второй. При этом AC  и BD  — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB  и CD.

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 23

Показать ответ и решение

Пусть O  и Q  — центры меньшей и большей окружностей соответственно. Пусть AC  и BD  пересекаются в точке E.  Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то OA ⊥ AC,OB ⊥ BD,  QC  ⊥ AC,  QD  ⊥BD.

12EOQNKCABDHM20

 

EA = EB  как касательные к меньшей окружности, проходящих через одну точку. EC = ED  как касательные к большей окружности, проходящих через одну точку. Значит,

BD = ED − EB  =EC  − EA = AC.

Так как меньшая окружность вписана в угол ∠AEB,  то её центр O  лежит на биссектрисе угла ∠AEB,  поэтому EO  — биссектриса угла ∠AEB,  точки E,  O  лежат на одной прямой EO.

Так как большая окружность вписана в угол ∠CED,  то её центр Q  лежит на биссектрисе угла ∠CED,  поэтому EQ  — биссектриса угла ∠CED,  точки E,  Q  лежат на одной прямой EQ.

Таким образом, так как ∠CED  и ∠AEB  — один и тот же угол, то точки E,  Q,  O  лежат на одной прямой EQ.

Пусть M  — точка касания двух окружностей. Точка касания окружностей лежит на одной прямой с центрами окружностей, следовательно, точка M  лежит на прямой EQ.

Пусть N  — точка пересечения AB  и EQ,  K  — точка пересечения CD  и EQ.

Треугольник AEB  равнобедренный и EN  — его биссектриса, следовательно, EN  ⊥ AB.  Треугольник CED  равнобедренный и EK  — его биссектриса, следовательно, EK ⊥ CD.  Значит, AB ∥ CD.  Таким образом, в задаче требуется найти NK.

Так как OA ⊥ AC,  QC ⊥ AC,  то OA ∥ QC.  Проведём OH  ⊥QC,  тогда ACHO  — прямоугольник. Следовательно, по свойству прямоугольника AO = CH.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OHQ.  В нём

pict

Треугольник OHQ  подобен треугольнику CKQ  по двум углам, так как ∠OHQ  = ∠CKQ  = 90∘,  ∠OQC  — общий. Тогда

OQ   HQ
CQ-= KQ--

32 = -8--
20   KQ
 KQ  =5

Треугольник EAO  подобен треугольнику ECQ  по двум углам, так как                  ∘
∠EAO  = ∠ECQ  = 90,  ∠AEO  — общий. Тогда ∠AON  = ∠OQC  как соответственные.

∠EAO  = ∠ECQ  как соответственные углы при AO ∥ CQ  и секущей EC.  ∠EAN  = ∠ECK  как соответственные углы при AN ∥ CK  и секущей EC.  Тогда

∠NAO  = ∠EAO − ∠EAN  = ∠ECQ  − ∠ECK  = ∠KCQ.

∠EBO  = ∠EDQ  как соответственные углы при BO  ∥DQ  и секущей ED.  ∠EBN  = ∠EDK  как соответственные углы при BN  ∥DK  и секущей ED.  Тогда

∠NBO   =∠EBO  − ∠EBN  = ∠EDQ  − ∠EDK  = ∠KDQ.

Тогда треугольник ABO  подобен треугольнику CDQ  по двум углам. Следовательно, ∠AOB  = ∠CQD.

Так как ON  — высота в равнобедренном треугольнике ABO,  опущенная на основание, то ON  — биссектриса,

∠AON  = 1 ⋅∠AOB.
        2

Так как QK  — высота в равнобедренном треугольнике CDQ,  опущенная на основание, то QK  — биссектриса,

∠CQK  = 1 ⋅∠CQD.
        2

Поэтому

        1         1
∠AON  = 2 ⋅∠AOB = 2 ⋅∠CQD  = ∠CQK.

Треугольник OHQ  подобен треугольнику ANO  по двум углам, так как ∠OHQ  = ∠ANO  = 90∘,  ∠AON  = ∠CQK  = ∠OQH.  Тогда

OQ-= HQ-
AO   NO
32 = -8-
12   NO
 NO  =3

Тогда

NK  = OQ − KQ + NO  =32 − 5 +3 = 30.
Ответ: 30
Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#47409

Окружности радиусов 36 и 45 касаются внешним образом. Точки A  и B  лежат на первой окружности, точки C  и D  — на второй. При этом AC  и BD  — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB  и CD.

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 24

Показать ответ и решение

Пусть O  и Q  — центры меньшей и большей окружностей соответственно. Пусть AC  и BD  пересекаются в точке E.  Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то OA ⊥ AC,OB ⊥ BD,  QC  ⊥ AC,  QD  ⊥BD.

34EOQNKCABDHM65

 

EA = EB  как касательные к меньшей окружности, проходящих через одну точку. EC = ED  как касательные к большей окружности, проходящих через одну точку. Значит,

BD = ED − EB  =EC  − EA = AC.

Так как меньшая окружность вписана в угол ∠AEB,  то её центр O  лежит на биссектрисе угла ∠AEB,  поэтому EO  — биссектриса угла ∠AEB,  точки E,  O  лежат на одной прямой EO.

Так как большая окружность вписана в угол ∠CED,  то её центр Q  лежит на биссектрисе угла ∠CED,  поэтому EQ  — биссектриса угла ∠CED,  точки E,  Q  лежат на одной прямой EQ.

Таким образом, так как ∠CED  и ∠AEB  — один и тот же угол, то точки E,  Q,  O  лежат на одной прямой EQ.

Пусть M  — точка касания двух окружностей. Точка касания окружностей лежит на одной прямой с центрами окружностей, следовательно, точка M  лежит на прямой EQ.

Пусть N  — точка пересечения AB  и EQ,  K  — точка пересечения CD  и EQ.

Треугольник AEB  равнобедренный и EN  — его биссектриса, следовательно, EN  ⊥ AB.  Треугольник CED  равнобедренный и EK  — его биссектриса, следовательно, EK ⊥ CD.  Значит, AB ∥ CD.  Таким образом, в задаче требуется найти NK.

Так как OA ⊥ AC,  QC ⊥ AC,  то OA ∥ QC.  Проведём OH  ⊥QC,  тогда ACHO  — прямоугольник. Следовательно, по свойству прямоугольника AO = CH.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OHQ.  В нём

HQ = CQ − CH  = CQ − AO =45 − 36 = 9

OQ = OM  + MQ  =36 +45 =81

Треугольник OHQ  подобен треугольнику CKQ  по двум углам, так как                   ∘
∠OHQ  = ∠CKQ  = 90 ,  ∠OQC  — общий. Тогда

OQ-= HQ--81= -9--KQ = 5
CQ   KQ  45  KQ

Треугольник EAO  подобен треугольнику ECQ  по двум углам, так как                  ∘
∠EAO  = ∠ECQ  = 90,  ∠AEO  — общий. Тогда ∠AON  = ∠OQC  как соответственные.

∠EAO  = ∠ECQ  как соответственные углы при AO ∥ CQ  и секущей EC.  ∠EAN  = ∠ECK  как соответственные углы при AN ∥ CK  и секущей EC.  Тогда

∠NAO  = ∠EAO − ∠EAN  = ∠ECQ  − ∠ECK  = ∠KCQ.

∠EBO  = ∠EDQ  как соответственные углы при BO  ∥DQ  и секущей ED.  ∠EBN  = ∠EDK  как соответственные углы при BN  ∥DK  и секущей ED.  Тогда

∠NBO   =∠EBO  − ∠EBN  = ∠EDQ  − ∠EDK  = ∠KDQ.

Тогда треугольник ABO  подобен треугольнику CDQ  по двум углам. Следовательно, ∠AOB  = ∠CQD.

Так как ON  — высота в равнобедренном треугольнике ABO,  опущенная на основание, то ON  — биссектриса,

∠AON  = 1 ⋅∠AOB.
        2

Так как QK  — высота в равнобедренном треугольнике CDQ,  опущенная на основание, то QK  — биссектриса,

∠CQK  = 1 ⋅∠CQD.
        2

Поэтому

∠AON  = 1⋅∠AOB  = 1 ⋅∠CQD  = ∠CQK.
        2         2

Треугольник OHQ  подобен треугольнику ANO  по двум углам, так как ∠OHQ  = ∠ANO  = 90∘,  ∠AON  = ∠CQK  = ∠OQH.  Тогда

OQ-  HQ-
AO = NO
81   -9-
36 = NO
 NO  =4

Тогда

NK  = OQ − KQ + NO  =81 − 5 +4 = 80.
Ответ: 80
Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#42505

В трапеции ABCD  боковая сторона AB  перпендикулярна основанию BC.  Окружность проходит через точки C  и D  и касается прямой AB  в точке E.  Найдите расстояние от точки E  до прямой CD,  если AD  =8,  BC  =7.

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 27

Показать ответ и решение

Способ 1.

Проведём отрезок EH  ⊥CD.  Тогда EH  — искомое расстояние.

ABCDEH

 

Так как AB ⊥ BC,  то ABCD  — прямоугольная трапеция. Следовательно, AB ⊥ AD.

Проведем отрезки EC  и ED.

∠ECD  — вписанный и опирается на дугу DE,  ∠AED  — угол между касательной EA  и хордой DE,  следовательно, по теореме о угле между касательной и хордой ∠ECD  =∠AED.

Так как EH  ⊥CD,  AE ⊥ AD,  то

∠EAD  = 90∘ = ∠EHC.

Тогда △ AED ∼ △HCE  по двум углам. Запишем отношение подобия:

HE-= CE-.
AD   ED

∠CDE  — вписанный и опирается на дугу EC,  ∠BEC  — угол между касательной EB  и хордой EC,  следовательно, по теореме о угле между касательной и хордой ∠CDE  =∠BEC.

Так как EH  ⊥CD,  BE ⊥ BC,  то ∠EBC  = 90∘ = ∠EHD.

Тогда △ BEC ∼ △HDE  по двум углам. Запишем отношение подобия:

CE-= BC-.
ED   HE

По доказанному ранее:

BC- = HE-  ⇒   HE2 = BC ⋅AD.
HE    AD

Тогда

HE  = √BC-⋅AD- =√7-⋅8= 2√14.

 

Способ 2.

Проведём отрезок EH  ⊥CD.  Тогда EH  — искомое расстояние.

Продлим стороны AB  и DC  до пересечения в точке O.

ABDEHOCx

Так как AB ⊥ BC,  то ABCD  — прямоугольная трапеция. Следовательно, AB ⊥ AD.

Рассмотрим треугольники BOC  и AOD.  В них ∠OBC  = 90∘ = ∠OAD,  ∠O  — общий. Поэтому треугольники BOC  и AOD  подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

OC-   BC-  7            8
OD  = AD = 8   ⇒   OD = 7OC.

Пусть OC  =x.  Тогда       8
OD =  7x.

По теореме о секущей OD  и касательной OE :

OE2 =OC  ⋅OD  = x⋅ 8x = 8x2
                 7    7
             ∘ 2-
       OE = 2  7x

Рассмотрим треугольники EOH  и DOA.  В них           ∘
∠OHE  = 90 = ∠OAD,  ∠O  — общий. Поэтому треугольники EOH  и DOA  подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

EH-= OE-.
AD   OD

Тогда

                   ∘--
               8 ⋅2 2 x     √ -     √ --
EH  = AD-⋅OE-= -----7--= 8-⋅2√2⋅7 = 2 14.
        OD        87x       8⋅  7
Ответ:

 √ --
2  14

Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#42125

Середина M  стороны AD  выпуклого четырёхугольника ABCD  равноудалена от всех его вершин. Найдите AD,  если BC = 18,  а углы B  и C  четырехугольника равны соответственно 132∘ и 93∘.

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 29

Показать ответ и решение

Так как точки A,  B,  C  и D  равноудалены от точки M,  то эти точки лежат на окружности с центром в точке M  и радиусом AM.

Пусть

AM  = BM = CM  = DM  = R.

 

MCBHAD45RRRR99∘

 

Так как четырёхугольник ABCD  вписанный, то сумма противоположных углов равна 180∘,  значит,

pict

Так как в треугольнике ABM  известно, что AM  = BM  = R,  то треугольник ABM  — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠ABM   = ∠BAM  = 87∘.

Тогда

∠MBC   = ∠ABC − ∠MBA   =
    = 132∘− 87∘ = 45∘.

Так как в треугольнике MBC  известно, что MB = MC  = R,  то треугольник MBC  — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠MCB   = ∠MBC  = 45∘.

Проведём высоту MH  в треугольнике MBC.  Так как MBC  — равнобедренный, то MH  — медиана и

BH = HC = 1 BC = 1⋅18 =9.
          2      2

В прямоугольном треугольнике BHM   :

           BH
cos∠MBH   = BM--

  cos45∘ =-9
    √-    R
    -2-= 9-
     2   R

Следовательно,

           √ -   √ -
R = √18=  18--2= 9  2.
      2    2

Тогда

             √-    √ -
AD = 2R = 2⋅9 2 = 18  2.
Ответ:

  √-
18 2

Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#105210

Середина M  стороны AD  выпуклого четырёхугольника ABCD  равноудалена от всех его вершин. Найдите AD,  если BC = 14,  а углы B  и C  четырёхугольника равны соответственно 110∘ и 100∘.

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 30

Показать ответ и решение

Так как точки A,  B,  C  и D  равноудалены от точки M,  то эти точки лежат на окружности с центром в точке M  и радиусом AM.

Пусть

AM  = BM = CM  = DM  = R.

 

MBCHAD30RRRR77∘

 

Так как четырёхугольник ABCD  вписанный, то сумма противоположных углов равна 180∘,  значит,

pict

Так как в треугольнике ABM  известно, что AM  = BM  = R,  то треугольник ABM  — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠ABM   = ∠BAM  = 80∘.

Тогда

∠MBC   = ∠ABC − ∠MBA   =
    = 110∘− 80∘ = 30∘.

Так как в треугольнике MBC  известно, что MB = MC  = R,  то треугольник MBC  — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠MCB   = ∠MBC  = 30∘.

Проведём высоту MH  в треугольнике MBC.  Так как MBC  — равнобедренный, то MH  — медиана и

BH = HC = 1 BC = 1⋅14 =7.
          2      2

В прямоугольном треугольнике BHM   :

           BH
cos∠MBH   = BM--

  cos30∘ =-7
    √-    R
    -3-= 7-
     2   R

Следовательно,

           √ -
R = 1√4-= 14--3.
      3    3

Тогда

              √ -    √ -
AD  =2R = 2⋅ 14-3= 28--3.
              3      3
Ответ:

  √ -
28--3
  3

Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#42866

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 160, а площадь равна 1280, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 35

Показать ответ и решение

Пусть ABCD  — трапеция с основаниями AD  и BC,  где AD > BC.  Так как трапеция ABCD  равнобедренная, то AB = CD.  Пусть AC ∩BD  =O.

abx43ANHMDBKCO02

 

Трапеция ABCD  описанная, значит, по свойству описанного четырёхугольника

AB + CD = BC + AD.

По условию периметр трапеции равен 160, то есть

AB + CD + BC + AD = 160
    2(AB + CD )= 160
     AB + CD = 80

Тогда

AB = CD = 80 =40.
           2

Пусть BC  =a,AD  =b.  Тогда

       1
a+ b=  2 ⋅160= 80.

Опустим высоты CM  и BN.  Так как площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то

 BC-+-AD-⋅CM  = 1280
     2
(BC + AD )⋅CM  =2560
  (a+ b)⋅CM  =2560

    80⋅CM  = 2560
     CM  = 2560
            80
      CM  = 32

Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Так как CM ⊥ AD  и BN  ⊥ AD,  то CM  ∥BN.

Рассмотрим четырёхугольник NBCM.  В нём BN ∥ CM  и BC ∥ AD  как основания трапеции, следовательно, BC ∥NM.  Тогда NBCM  — параллелограмм и BC = NM  по свойству параллелограмма.

Рассмотрим треугольники ABN  и DCM.  В них AB  = CD,  ∠BAN  = ∠CDM  как углы при основании равнобедренной трапеции, ∠BNA  = ∠CMD   = 90∘.  Тогда прямоугольные треугольники ABN  и DCM  равны по острому углу и гипотенузе. AN = DM  как соответственные элементы. В треугольнике CMD  по теореме Пифагора

CM2 + MD2  =CD2.

Тогда

      ∘----------   ∘--------
MD  =  CD2 − CM2  =  402− 322 =
     √ ---------- √ ---
   =   1600 − 1024=  576 = 24.

Следовательно, AN = MD  = 24.

Значит,

      b= AN + MN  +MD  =

= 24+ MN  + 24 = 48+ BC = 48+ a.

Так как a+ b= 80,  то

 a+ 48+ a =80
2a= 80 − 48 =32
     a= 16

Найдём AD :

AD = 80− BC = 80− 16= 64.

Проведём высоту KH  трапеции ABCD,  проходящую через точку O,  K ∈ BC,  H ∈ AD.  Так как KH  — высота трапеции, то

KH = BN  = CM = 32.

Рассмотрим треугольники CBO  и ADO.  В них ∠CBD  = ∠ADB  как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC  и AD  и секущей BD,  а ∠AOD  = ∠COB  как вертикальные.

Тогда △ CBO ∼ △ADO  по двум углам. Значит, отношение их соответственных высот равно коэффициенту подобия, то есть

OK--= BC- = 16= 1 .
OH    AD    64  4

Пусть KO  = x.  Тогда OH  = 32− x.

--x--   1
32− x = 4
4x = 32− x
 5x =32
 x = 6,4

Так как расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного на эту прямую из точки, то расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания — длина OK,  то есть 6,4.

Ответ: 6,4
Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#105354

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 20, а площадь равна 20, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 36

Показать ответ и решение

Пусть ABCD  — трапеция с основаниями AD  и BC,  где AD > BC.  Так как трапеция ABCD  равнобедренная, то AB = CD.  Пусть AC ∩BD  =O.

abx54ANHMDBKCO

 

Трапеция ABCD  описанная, значит, по свойству описанного четырёхугольника

AB + CD = BC + AD.

По условию периметр трапеции равен 20, то есть

AB + CD + BC + AD = 20
    2(AB + CD) =20
     AB + CD = 10

Тогда

AB = CD =  10-= 5.
           2

Пусть BC  =a,AD  =b.  Тогда

      1
a+ b= 2 ⋅20 =10.

Опустим высоты CM  и BN.  Так как площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то

 BC-+-AD-⋅CM  = 20
    2
(BC + AD )⋅CM = 40
  (a+ b)⋅CM = 40

    10⋅CM  = 40
     CM  = 40
           10
      CM  = 4

Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Так как CM ⊥ AD  и BN  ⊥ AD,  то CM  ∥BN.

Рассмотрим четырёхугольник NBCM.  В нём BN ∥ CM  и BC ∥ AD  как основания трапеции, следовательно, BC ∥NM.  Тогда NBCM  — параллелограмм и BC = NM  по свойству параллелограмма.

Рассмотрим треугольники ABN  и DCM.  В них AB  = CD,  ∠BAN  = ∠CDM  как углы при основании равнобедренной трапеции, ∠BNA  = ∠CMD   = 90∘.  Тогда прямоугольные треугольники ABN  и DCM  равны по острому углу и гипотенузе. AN = DM  как соответственные элементы. В треугольнике CMD  по теореме Пифагора

CM2 + MD2  =CD2.

Тогда

     ∘ ----------  ∘ ------
MD  =  CD2 − CM2  =  52− 42 =
       √ ------  √-
     =   25− 16=  9 = 3.

Следовательно, AN = MD  = 3.

Значит,

    b= AN + MN  +MD  =

= 3+ MN  +3 = 6+ BC = 6+ a.

Так как a+ b= 10,  то

 a+ 6+ a= 10
2a= 10− 6 =4
    a =2

Найдём AD :

AD = 10− BC = 10− 2= 8.

Проведём высоту KH  трапеции ABCD,  проходящую через точку O,  K ∈ BC,  H ∈ AD.  Так как KH  — высота трапеции, то

KH  = BN = CM  = 4.

Рассмотрим треугольники CBO  и ADO.  В них ∠CBD  = ∠ADB  как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC  и AD  и секущей BD,  а ∠AOD  = ∠COB  как вертикальные.

Тогда △ CBO ∼ △ADO  по двум углам. Значит, отношение их соответственных высот равно коэффициенту подобия, то есть

OK--= BC-= 2 = 1.
OH    AD   8   4

Пусть KO  = x.  Тогда OH  = 4− x.

--x--  1
4 − x = 4
4x= 4 − x
  5x = 4
 x = 0,8

Так как расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного на эту прямую из точки, то расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания — длина OK,  то есть 0,8.

Ответ: 0,8
Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#40949

В треугольнике ABC  биссектриса BE  и медиана AD  перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 12. Найдите стороны треугольника ABC.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1.

Обозначим точку пересечения BE  и AD  за O.  Рассмотрим треугольник ABD  :

1.
∠BOD  = ∠BOA = 90∘,  так как BE  ⊥ AD  по условию, следовательно, BO  — высота в треугольнике ABD.
2.
∠ABO  =∠DBO,  так как BE  — биссектриса ∠ABC.

ABCDEFO3√3√3966513-

Тогда в треугольнике ABD  отрезок BO  — биссектриса и высота, следовательно, треугольник ABD  — равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. По свойству равнобедренного треугольника BO  — медиана треугольника ABD.  Тогда

AO = OD = 1AD  = 1⋅12= 6.
          2      2

В равнобедренном треугольнике ABD  с основанием AD  боковые стороны равны. Тогда

AB = BD = 1BC,
          2

так как AD  — медиана треугольника ABC.  BE  — биссектриса в △ ABC.  По свойству биссектрисы треугольника

AE    AB    1
EC- = BC-=  2  ⇒   EC = 2AE.

Тогда

AE- = --AE----= -AE- = 1.
AC    AE + EC   3AE    3

Продлим медиану AD  на её длину. Пусть точка F  — полученная точка. Тогда AD  =DF,  BD  = DC.  Четырёхугольник ABF C  — параллелограмм, так как его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, BF  ∥AC.  Следовательно, ∠F AC = ∠BF A  как накрест лежащие при параллельных прямых AC  и F B  и секущей AF.  BE  ⊥AD,  поэтому ∠BOF = ∠AOE  = 90∘.  Тогда △ AOE ∼ △F OB  по двум углам. Запишем отношение подобия:

OE-= AE-.
BO   BF

Так как AC = BF  по свойству параллелограмма, то

AE-   AE-  1
BF =  AC = 3.

Значит,

OE- = 1  ⇒   BO = 3OE.
BO    3

Тогда

OE      OE         OE       OE    1
EB-= OE-+-OB- = OE-+-3OE-= 4OE- = 4
             1     1
        OE = 4BE = 4 ⋅12= 3

Следовательно,

BO  =BE  − OE = 12 − 3 = 9.

Рассмотрим треугольник BOA.            ∘
∠BOA  = 90.  Следовательно, △ BOA  — прямоугольный. По теореме Пифагора

AB2 = AO2 + OB2,

значит,

     ∘ ----------  ∘ ------
AB  =  AO2 + BO2 =   62 +92 =
   = √36+-81= √117-= 3√13.

Рассмотрим треугольник AOE.  В нём ∠AOE = 90∘.  Следовательно, △ AOE  — прямоугольный. По теореме Пифагора

AE2 = AO2 + OE2,

значит,

     ∘ ----------  ∘ ------
AE  =  AO2 + OE2 =   62 +32 =
      √ -----  √--   √ -
    =   36 + 9=  45= 3  5.

Найдём стороны треугольника ABC  :

pict

 

Способ 2.

Рассмотрим треугольник ABD.  В нем BO  — биссектриса и BO ⊥ AD,  следовательно, треугольник ABD  — равнобедренный с основанием AD,  то есть AB = BD.

Так как △ ABD  — равнобедренный и BO  — биссектриса, проведённая к основанию, то BO  также является медианой. То есть AO = OD.

Поэтому

AD = AO + OD = 2AO = 12
      AO = 6= OD

BE  — биссектриса в треугольнике ABC.  По свойству биссектрис

AE-=  AB-= ---AB--- = AB--=  AB--= 1.
EC    BC   BD + DC    2DB    2AB    2

Пусть EA  =x,  тогда CE = 2x.

ABCDEOx266x

По теореме Менелая для △ CBE  и его секущей AD :

  CD-⋅ BO ⋅ EA-= 1
  DB  OE   AC
1  BO- ---EA---
1 ⋅OE ⋅CE + EA  = 1
   1  BO   x
   1 ⋅OE-⋅3x = 1
    1 BO   1
    1 ⋅OE ⋅3 = 1

      BO- = 3
      OE
     BO = 3OE

BE = BO + OE,  следовательно,

    BE = 4OE
OE = BE- = 12 =3
      4    4
  BO = 3OE = 9

√√ --
ABCDEO336639 513

BO ⊥ AO  в треугольнике ABO  , поэтому треугольник ABO  — прямоугольный. По теореме Пифагора

   2     2     2
AB  = AO  + BO ,

значит,

     ∘ ----------  ∘ ------
AB  =  AO2 + BO2 =   62 +92 =
   = √36+-81= √117-= 3√13.

Следовательно,

                             √--
BC = BD  +DC  = 2BD  = 2AB = 6 13.

AO ⊥ EO  в треугольнике AEO  , поэтому треугольник AEO  — прямоугольный. По теореме Пифагора

   2     2     2
EA  = AO  + EO ,

значит,

     ∘ ----------  ∘ ------
EA  =  AO2 + EO2 =   62 +32 =
    = √36-+-9= √45= 3√5.

Таким образом,           √-
x = EA = 3 5.  Тогда

                            √-
AC = CE + EA = 2x+ x =3x = 9 5.
Ответ:

 √ --  √--  √ -
3  13; 6 13; 9 5

Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#54962

В треугольнике ABC  биссектриса BE  и медиана AD  перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 96. Найдите стороны треугольника ABC.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2023 г. Вариант 35

Показать ответ и решение

Пусть AD ∩BE  = O.  По условию BE  ⊥AD,  значит, ∠BOD  = 90∘.  По условию AD  =BE  = 96.

Рассмотрим треугольник ABD.  В нём BO  — высота и биссектриса. Тогда треугольник ABD  равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника, то есть AB  = BD.  В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой. Значит,

AO = OD = 1AD =  1⋅96= 48
          2      2

Так как AD  — медиана, то

CD = BD  = AB   ⇒   BC = 2AB

Продлим медиану AD  на её длину: AD = DK  = 96.  Соединим точки B  и K.

PIC

Рассмотрим треугольники ADC  и KDB.  Так как AD = DK  по построению, BD  = DC,  и ∠BDK  = ∠ADC  как вертикальные, то треугольники ADC  и KDB  равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда ∠BKD  = ∠CAD  как соответственные элементы равных треугольников. Значит, BK  ∥AC.

BE  — биссектриса в треугольнике ABC.  Тогда по свойству биссектрисы

AE- = AB-= 1
EC    BC   2

Пусть AE  =x.  Тогда EC = 2x  и AC  =AE  +EC  =3x.  Из равенства треугольников ADC  и KDB  получаем, что BK  = AC = 3x.

Рассмотрим треугольники AOE  и KOB.  ∠AOE  =∠KOB  как вертикальные, ∠OAE  = ∠OKB.  Тогда треугольники AOE  и KOB  подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

BO-=  BK-= 3x = 3
OE    AE    x

Тогда

     3      3
BO = 4 BE = 4 ⋅96 =72
     1      1
OE = 4 BE = 4 ⋅96 =24

В треугольнике ABO  по теореме Пифагора

  AB2 = AO2 + OB2 =482+ 722 = 62⋅82+ 82⋅92 =
  2           2      2  2                √ --
= 8(36+ 81)= 8 ⋅117 = 8 ⋅3 ⋅13   ⇒   AB = 24  13

Найдём BC :

               √ --    √--
BC  = 2AB  =2 ⋅24 13= 48 13

В треугольнике AOE  по теореме Пифагора

AE2 =AO2 + OE2 = 482+ 242 = 242 ⋅22 +242 =
       (     )                    √-
  = 242 22+ 1 = 242⋅5  ⇒   AE = 24 5

Тогда

AC = 3AE = 3 ⋅24√5-= 72√5
Ответ:

  √--   √ --   √-
24 13; 48  13; 72 5

Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#56381

В треугольнике ABC  биссектриса BE  и медиана AD  перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 8. Найдите стороны треугольника ABC.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1.

Обозначим точку пересечения BE  и AD  за O.  Рассмотрим треугольник ABD  :

1.
∠BOD  = ∠BOA = 90∘,  так как BE  ⊥ AD  по условию, следовательно, BO  — высота в треугольнике ABD.
2.
∠ABO  =∠DBO,  так как BE  — биссектриса ∠ABC.

ABCDEFO2√2√2644513-

Тогда в треугольнике ABD  отрезок BO  — биссектриса и высота, следовательно, треугольник ABD  — равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. По свойству равнобедренного треугольника BO  — медиана треугольника ABD.  Тогда

AO = OD  = 1AD = 1 ⋅8= 4.
           2     2

В равнобедренном треугольнике ABD  с основанием AD  боковые стороны равны. Тогда

AB = BD = 1BC,
          2

так как AD  — медиана треугольника ABC.  BE  — биссектриса в △ ABC.  По свойству биссектрисы треугольника

AE    AB    1
EC- = BC-=  2  ⇒   EC = 2AE.

Тогда

AE- = --AE----= -AE- = 1.
AC    AE + EC   3AE    3

Продлим медиану AD  на её длину. Пусть точка F  — полученная точка. Тогда AD  =DF,  BD  = DC.  Четырёхугольник ABF C  — параллелограмм, так как его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, BF  ∥AC.  Следовательно, ∠F AC = ∠BF A  как накрест лежащие при параллельных прямых AC  и F B  и секущей AF.  BE  ⊥AD,  поэтому ∠BOF = ∠AOE  = 90∘.  Тогда △ AOE ∼ △F OB  по двум углам. Запишем отношение подобия:

OE-= AE-.
BO   BF

Так как AC = BF  по свойству параллелограмма, то

AE-   AE-  1
BF =  AC = 3.

Значит,

OE- = 1  ⇒   BO = 3OE.
BO    3

Тогда

OE      OE         OE       OE    1
EB-= OE-+-OB- = OE-+-3OE-= 4OE- = 4
             1      1
        OE = 4BE  = 4 ⋅8 =2

Следовательно,

BO = BE − OE = 8− 2= 6.

Рассмотрим треугольник BOA.            ∘
∠BOA  = 90.  Следовательно, △ BOA  — прямоугольный. По теореме Пифагора

AB2 = AO2 + OB2,

значит,

     ∘ ----------  ∘ ------
AB  =  AO2 + BO2 =   42 +62 =
   = √16-+-36= √52= 2√13.

Рассмотрим треугольник AOE.  В нём ∠AOE = 90∘.  Следовательно, △ AOE  — прямоугольный. По теореме Пифагора

AE2 = AO2 + OE2,

значит,

     ∘ ----------  ∘ ------
AE  =  AO2 + OE2 =   42 +22 =
      √ -----  √--   √ -
    =   16 + 4=  20= 2  5.

Найдём стороны треугольника ABC  :

pict

 

Способ 2.

Рассмотрим треугольник ABD.  В нем BO  — биссектриса и BO ⊥ AD,  следовательно, треугольник ABD  — равнобедренный с основанием AD,  то есть AB = BD.

Так как △ ABD  — равнобедренный и BO  — биссектриса, проведённая к основанию, то BO  также является медианой. То есть AO = OD.

Поэтому

AD = AO + OD  =2AO = 8
      AO = 4= OD

BE  — биссектриса в треугольнике ABC.  По свойству биссектрис

AE-=  AB-= ---AB--- = AB--=  AB--= 1.
EC    BC   BD + DC    2DB    2AB    2

Пусть EA  =x,  тогда CE = 2x.

ABCDEOx244x

По теореме Менелая для △ CBE  и его секущей AD :

  CD-⋅ BO ⋅ EA-= 1
  DB  OE   AC
1  BO- ---EA---
1 ⋅OE ⋅CE + EA  = 1
   1  BO   x
   1 ⋅OE-⋅3x = 1
    1 BO   1
    1 ⋅OE ⋅3 = 1

      BO- = 3
      OE
     BO = 3OE

BE = BO + OE,  следовательно,

   BE = 4OE
OE = BE-= 8 = 2
      4   4
 BO = 3OE = 6

√√ --
ABCDEO224426 513

BO ⊥ AO  в треугольнике ABO  , поэтому треугольник ABO  — прямоугольный. По теореме Пифагора

   2     2     2
AB  = AO  + BO ,

значит,

     ∘ ----------  ∘ ------
AB  =  AO2 + BO2 =   42 +62 =
   = √16-+-36= √52= 2√13.

Следовательно,

                             √--
BC = BD  +DC  = 2BD  = 2AB = 4 13.

AO ⊥ EO  в треугольнике AEO  , поэтому треугольник AEO  — прямоугольный. По теореме Пифагора

   2     2     2
EA  = AO  + EO ,

значит,

     ∘ ----------  ∘ ------
EA  =  AO2 + EO2 =   42 +22 =
    = √16-+-4= √20= 2√5.

Таким образом,           √-
x = EA = 2 5.  Тогда

                            √-
AC = CE + EA = 2x+ x =3x = 6 5.
Ответ:

 √ --  √--  √ -
2  13; 4 13; 6 5

Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!