Комбинация арифметической и геометрической прогрессий

Подсказка 1

Прежде чем строить какие-либо рассуждения, давайте посчитаем обе суммы. Для этого воспользуемся формулами суммы арифметической и геометрической прогрессии.

Подсказка 2

Пусть первый член геометрической прогрессии будет 2ⁿ, тогда сумма будет равна 2ⁿ(2¹⁰⁰ - 1), а сумма числе от 1 до k равна k(k + 1)/2. Приравняв данные две суммы, мы навряд ли сможем найти какое-то противоречие. Давайте тогда попробуем подобрать такие n и k, при которых равенство сможет выполниться.

Подсказка 3

Давайте распишем k, как k + 1 – 1. Тогда наше равенство будет выглядеть следующем образом. (k + 1)(k + 1 - 1) = 2ⁿ⁺¹(2¹⁰⁰ - 1). Внимательно посмотрите на выражение. Чем так сильно похожи правая и левая часть?

Подсказка 4

Равенство будет верным, если k + 1 = 2ⁿ⁺¹ = 2¹⁰⁰