Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Комбинация арифметической и геометрической прогрессий

Тема Последовательности и прогрессии

Комбинация арифметической и геометрической прогрессий

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела последовательности и прогрессии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#105458

Пусть $a ,a,a 1 2 3$ — арифметическая прогрессия с ненулевой разностью. Известно, что $aa ,aa ,aa 12 23 31$ — геометрическая прогрессия. Найти её знаменатель.

Показать ответ и решение

Из того, что $a a,a a,a a 12 23 3 1$ — геометрическая прогрессия, следует, что ни одно из чисел $a,a ,a 1 2 3$ не равно нулю. Знаменатель геометрической прогрессии равен отношению ее второго члена к первому, т.е. $a3 q = a1$ . Следовательно,

a3a1 = a2a3q

a1 q = a2

Получили

a3 a1 a1-= a2

a21 = (a1+d)(a1+2d)

Так как $d⁄= 0,$ то сокращаем и получаем

d= − 3a1 2

Теперь уже можно найти

q = a1 =-a1- = ----a1----= −2 a2 a1 +d a1 +(−1,5a1)

Ответ: -2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#88526

Сумма трёх первых членов возрастающей арифметической прогрессии равна 15. Если от первых двух членов этой прогрессии отнять по 1, а к третьему прибавить 1, то полученные три числа составят геометрическую прогрессию. Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии.

Показать ответ и решение

Пусть $a , a , a 1 2 3$ — члены возрастающей арифметической прогрессии, а $d> 0$ — разность прогресcии. Тогда по условию:

a1+ a2+ a3 =15⇒ a1 +a1+ d+ a1 +2d= 15

a +d =5 1

(1)

Пусть $b1, b2, b3$ — члены геометрической прогрессии, а $q$ — знаменатель прогрессии. Тогда по условию:

b1 = a1− 1, b2 = a2− 1, b3 =a3+ 1

Запишем характеристическое свойство геометрической прогрессии:

2 2 b2 =b1b3 ⇒ (a1+ d− 1) =(a1− 1)(a1 +2d+ 1)

(2)

Составим из $(1)$ и $(2)$ систему уравнений и решим ее:

{ a1+d =5 (a1+ d− 1)2 =(a1− 1)(a1 +2d+ 1)

{ a1 = 5− d (5 − d+ d− 1)2 =(5− d− 1)(5− d +2d+ 1)⇒ 42 =(4− d)(d+ 6)

Из последнего уравнения после приведения получаем следующее:

[ d2+ 2d− 8⇒ d= −4,не подходит d= 2

Получили, что $d= 2,$ тогда $a1 =3$ . Найдем сумму первых $10$ членов прогрессии:

2a1+d(10− 1) S10 = 2 ⋅10= (2a1+ 9d)⋅5=120

Ответ: 120

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#88528

Четвёртый член арифметической прогрессии равен половине второго, который на $36$ больше, чем третий член некоторой геометрической прогрессии. Найдите первый член арифметической прогрессии, если он вдвое больше первого члена геометрической прогрессии и впятеро больше второго члена геометрической прогрессии.

Показать ответ и решение

Пусть $a$ и $d$ — это первый член арифметической прогрессии и её разность соответственно, а $b$ и $q$ — это первый член геометрической прогрессии и её знаменатель соответственно. Тогда условия задачи можно переписать в виде системы

( a+ d ||||| a+ 3d= --2- |||{ a+ d= bq2+36 | ||||| a =2b ||( a =5bq

Заметим, что $b⁄= 0,$ значит, из третьего и четвертого уравнений системы, можно найти $q$

2b= 5bq =⇒ q = 2 5

Подставим $b= a 2$ и $q = 2 5$ в первые два уравнения системы, получим систему

(| a+-d |{ a+ 3d= 2 ||( a+ d= a ⋅ 4-+36 2 25

(|{ 5d =− a |( d= − 23a+ 36 25

Следовательно,

− a= − 23a +36 5 25

18a =36 25

a= 50

Ответ:

$50$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#65616

Сумма первых десяти членов арифметической прогрессии равна $30.$ Четвертый, седьмой и пятый члены этой прогрессии, взятые в указанном порядке, представляют собой три последовательных члена геометрической прогрессии. Найдите разность исходной арифметической прогрессии.

Показать ответ и решение

Пусть $a$ — первый член арифметической прогрессии, $d$ — её разность. Воспользуемся формулой суммы первых 10 членов арифметической прогрессии:

10(2a+9d) ---2----= 30

Теперь же воспользуемся критерием геометрической прогрессии для чисел $a4,a7,a5 :$

a27 = a4⋅a5

По формуле $n$ -ого члена арифметической прогрессии: $a7 =a +6d,a4 =a +3d,a5 =a +4d.$

В итоге условие задачи эквивалентно системе

{ 2a+ 9d =26, (a+6d) = (a+ 3d)(a+ 4d)

{ a= 6−9d- 24d2+25ad= 0

Подставляем $a$ из первого во второе:

3d2+ 30d= 0

d= −10 или d =0

При этом легко понять, что оба ответа реализуются (из первого уравнения системы найдётся такое $a$ ).

Ответ:

$− 10$ или $0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#67677

Какое наименьшее количество различных целых чисел нужно взять, чтобы среди них можно было выбрать как геометрическую, так и арифметическую прогрессию длины 5?

Источники: ММО-2023, 11.2 (см. mmo.mccme.ru)

Показать ответ и решение

(Оценка) Покажем, что никакие пять различных чисел не удовлетворяют условию задачи. Предположим противное: пусть найдутся пять различных целых чисел, одновременно образующих геометрическую и (возможно в другом порядке) арифметическую прогрессию. Тогда они имеют вид $2 3 4 b,bq,bq,bq,bq,$ где $b ∈ℤ.$ Заметим, что $b ⁄=0,q ⁄= 0$ по определению геометрической прогрессии. Числа $2 4 b,bq ,bq$ всегда одного знака и в арифметической прогресии идут либо подряд при $q < 0,$ либо через одного при $q < 0.$ В любом случае должно выполняться равенство $2 4 2bq =b +bq,$ т.е. $2 2 b(q − 1) = 0,$ откуда $q = ±1,$ но тогда среди чисел есть равные. Противоречие. Следовательно, пяти чисел недостаточно.

(Пример) Приведём пример шести целых чисел, удовлетворяющих условию:

−8,−2,1,4,10,16

Действительно, числа $1,−2,4,−8,16$ образуются геометрическую прогрессию, а числа $− 8,−2,4,10,16$ - арифметическую прогрессию.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#31349

Найдите числа, одновременно являющиеся членами арифметической прогрессии $12,15,18,...$ и геометрической прогрессии $1,3,9,...,$ если каждая из этих прогрессий содержит по $100$ членов.

Показать ответ и решение

Заметим, что первая последовательность состоит из чисел, кратных $3,$ от $12$ до $12+ 3⋅99= 309.$ Рассмотрим члены второй последовательности, которые меньше $309.$ Это $1,3,9,27,81$ и $243.$ Очевидно, что из них только $27,81$ и $243$ встречаются в первой последовательности.

Ответ:

$27,81,243$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#31396

Положительные числа $b,b,b,b ,b 1 2 3 4 5$ образуют геометрическую прогрессию, а числа $b,6b,27b 5 3 1$ образуют арифметическую прогрессию. Найдите все возможные знаменатели геометрической прогрессии $b1,b2,b3,b4,b5.$

Показать ответ и решение

Числа $b ,6b ,27b 5 3 1$ образуют арифметическую прогрессию, а значит,

12b3 = b5+27b1

12bq2 = bq4+ 27b 1 1 1

$b1$ положительно, поэтому на него сократим:

q4− 12q2+ 27 =0

Решая это уравнение как квадратное относительно $q2,$ получим $q2 =3$ или $q2 = 9.$ Все члены положительны, а значит, и $q$ тоже положительно, тогда либо $√ - q = 3,$ либо $q =3.$

Ответ:

$√3; 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#94273

Геометрическая прогрессия $a ,a,a ,...,a 1 2 3 n$ , в которой все члены различны, такова, что числа $a,a2,a3,...,an 1 2 3 n$ в указанном порядке составляют арифметическую прогрессию. Какое наибольшее значение может принимать $n?$

Источники: Изумруд - 2021, 11.4 (см. izumrud.urfu.ru)

Показать ответ и решение

Обозначим знаменатель геометрической прогрессии через q. Предположим, что $n ≥4$ , тогда в исходной прогрессии точно присутствуют числа $2 a1,a2 = a1q,a3 = a1q,a4 =$ $3 a1q$ . Тогда по свойству арифметической прогрессии имеем

{ 2(a q)2 =a + (aq2)3 ( 12)3 1 2 1( 3)4 2a1q =(a1q) + a1q

Поскольку все члены геометрической прогрессии различны, то $a1 ⁄= 0$ и $q ⁄= 0,q ⁄= 1$ . Поделим первое уравнение системы на $a1$ , а второе - на $(a1q)2$ . Получим

{ 2a1q2 = 1+ a2q6 { a2q6 − 2a1q2 +1 =0 2a1q4 = 1+ 1a2q10 , откуда a12q10− 2a1q4+ 1= 0 . 1 1

Решая первое уравнение системы, как квадратное относительно $a1$ , получаем

∘ ------- ∘ ----- 2q2±--4q4− 4q6 1-±--1−-q2 a11,2 = 2q6 = q4 .

Решая второе уравнение системы, как квадратное относительно $a1$ , получаем

4 ∘ -8----10- ∘ ----2 a11,2 = 2q-±---4q10−-4q--= 1±--16−-q-. 2q q

Из этого следует, что $√---- √---- 1±-1q4−q2= 1±-1q6−q2$ . Если $√---- √---- 1+-1q4−q2= 1+-1q6−q2$ или $√ ---- √ ---- 1+-q14−q2-= 1+-q1−6-q2-$ , то $q4 = q6$ . Полученное уравнение имеет решение только лишь при $q = 0,q =1,q = −1$ . Ранее было отмечено, что первые два варианта невозможны.

Если $q = −1$ , то $a1 = 1a1$ или $a21 =1$ . Но тогда прогрессия имеет либо вид $1,− 1,1,− 1$ , либо вид $− 1,1,− 1,1$ , что невозможно по условию.

Если $1+√1−q2 1−√1−q2 q4 = q6$ или $1−√1−-q2- 1+√1−q2- q4 = q6$ , то $2 2∘ ----2 ∘ ----2 q ± q 1− q = 1∓ 1− q$ , откуда $2 ( 2 )∘ ---2- q − 1= ± q +1 1− q$ .

Поскольку $q2+ 1> 0$ и $q2− 1< 0$ , то уравнение $q2− 1 =$ $( )∘ ----- q2+ 1 1− q2$ не имеет решений, а значит, $( )∘ ----- q2− 1 =− q2 +1 1− q2$ .

2 ( 2 )∘----- 1− q∘ =-q-+ 1 1− q2, 1− q2 = q2+ 1.

Но $q2+ 1> 1$ , а $1− q2 <1$ , поэтому уравнение также не имеет решений, а значит, $n <4$ . При $n= 3$ такая прогрессия существует, например, при $√ - a1 = 89,q =-23$ .

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#31043

Известно, что числа

x,y,z

образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию с разностью $α= arccos(− 2) 5$ , а числа

3+ sinx,3+sin y,3+ sinz

образуют в указанном порядке непостоянную геометрическую прогрессию. Найдите $sin y$ .

Источники: Физтех-2017, 11.3 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

По условию $cosα =− 2 5$ . Тогда $sin2α =1 − cos2α = 21 25$ . Так как $α =arccos(− 2) 5$ , то $α∈ [0,π]$ , и значит, $sinα ≥0$ и $sinα= √21 5$ .

По условию $x= y− α$ и $z = y+ α$ .

Тогда

2 √21- 3+ sinx= 3+ sinycosα− cosysinα = 3− 5siny− -5- cosy

3+sin y

√ -- 3+ sinz = 3+ sinycosα+ cosysinα = 3− 2siny+--21 cosy 5 5

образуют геометрическую прогрессию.

Раз это числа вида $a, at, at2$ , то среднее в квадрате равно произведению крайних. Значит

√-- √-- (3 +siny)2 = (3 − 2siny+-21 cosy)(3− 2siny− -21cosy) 5 5 5 5

2 2 2 √21 2 2 2 21 2 (3+ siny) =(3− 5sin y)− (-5-cosy)= (3− 5siny) − 25(1− sin y)

9+6siny+ siny2 = 9− 125-siny+ 425siny2− 2215 + 2215siny2

6siny =− 12siny− 21 5 25

42siny =− 21 5

siny =− 1- 10

Ответ:

$−-1 10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#31351

Даны две непостоянные прогрессии $(a ) n$ и $(b), n$ одна из которых арифметическая, а другая — геометрическая. Известно, что $a1 = b1,a2 :b2 = 2$ и $a4 :b4 =8.$ Чему может быть равно отношение $a3 :b3?$

Источники: ММО-2017, 11.1, автор - Д.В. Горяшин, (см. mmo.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $a = b = a⁄= 0 1 1$ , разность арифметической прогрессии равна $d$ , а знаменатель геометрической равен $q$ . Поскольку прогрессии непостоянны, $d⁄= 0$ и $q ⁄= 1$ . Возможны два случая:

1) Пусть $(an)$ — арифметическая прогрессия, а $(bn)$ — геометрическая. Тогда по условию получаем

3 a+ d= 2aq,a+ 3d= 8aq

d= a(2q− 1)

3d= a(8q3− 1)= d(4q2+ 2q+1)

2q2+q − 1= 0

q = 1 или q = −1 2

Если $q = 1∕2$ , то $d =a(2q− 1)= 0$ , что по условию невозможно.

Если $q = −1$ , то $d= −3a$ и $a3 :b3 = aa+q2d2-=− 5.$

2) Пусть теперь $(an)$ — геометрическая, а $(bn)$ — арифметическая прогрессия. Тогда

2(a+ d)= aq,8(a +3d)= aq3

2d= a(q− 2)

24d= a(q3− 8)= 2d (q2+ 2q+4)

2 q + 2q − 8= 0

q = 2 или q = −4

В первом случае снова $d= 0$ , что противоречит условию, а во втором $q = −4,d= −3a$ и $a3 :b3 = aa+q22d-=− 156 .$

Ответ:

$− 5$ или $− 16 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#86449

Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна $91$ . Если к этим членам прибавить соответственно $25$ , $27$ и $1$ , то получатся три числа, в заданном порядке образующих арифметическую прогрессию. Найдите седьмой член данной геометрической прогрессии, если известно, что он больше $1$ .

Показать ответ и решение

Обозначим члены прогрессии за $b i$ , знаменатель прогрессии за $q$ , тогда $b = bq 2 1$ , $b = bq2. 3 1$

По условию $a1 = b1 +25$ , $a2 = b2 +27$ , $a3 = b3+ 1$ — арифметическая прогрессия, это условие можно записать так:

2a2 = a1+ a3

2b q+ 54 =b + 25+b q2+ 1 1 1 1

Значит,

28= b1(q2− 2q+1)

Также по условию сумма членов геометрической прогрессии равна 91:

91 =b1(1+q+ q2)

Разделим это равенство на предпоследнее, получим:

2 13 = q2-+-q+1- 4 q − 2q+ 1

Из чего следует

13q2− 26q+ 13= 4q2 +4q+ 4

9q2− 30q+ 9= 0

Это квадратное уравнение имеет корни $3$ и $13$ . Тогда в первом случае

b1 =---91-2-= 7, 1+ 3+ 3

во втором случае

--91---- b1 = 1+ 13 + 19 = 63.

По условию $b7 > 1$ , поэтому подходит только

b7 = 7⋅36 =5103,

1 7 b7 = 63⋅(3)6 = 81

не подходит.

Ответ: 5103

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#68081

Три различных положительных числа являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии. Могут ли эти же три числа оказаться тремя (не обязательно последовательными) членами геометрической прогрессии?

Показать ответ и решение

Попробуем подобрать пример. Пусть члены арифметической прогрессии имеют вид $a − d,a,a +d.$ Ясно, что эти числа не могут быть последовательными членами геометрической прогрессии, потому что $2 2 2 (a− d)(a+ d)= a − d < a .$ Попробуем рассмотреть геометрическую прогрессию, в которой $a$ и $a+ d$ — последовательные, а между $a$ и $a− d$ есть один член, тогда справедливо равенство $-a- a+d 2 a−d =( a ).$ После домножения на знаменатели, привидения подобных и деления на $d$ мы получим равенство $2 a = d(a+d).$ Чтобы свести его к уравнению от одной переменной, положим $a =kd$ , тогда оно примет вид $2 k = k+1.$ Это уравнение имеет корень $√5+1 k= 2 .$ Осталось заметить, что числа $√5−1 √5+1 √5+3 2 d, 2 d, 2 d$ при положительном $d$ подходят к условию.

Ответ: могут

Критерии оценки

+ верное решение

± верное решение с небольшими недочётами (например, арифметическая ошибка, не влияющая на ход решения)

+/2 задача явно сведена к решению полиномиального уравнения третьей степени или выше от знаменателя геометрической прогрессии, но не доказано (или доказано неверно) существование отличного от 1 решения

-. приведено доказательство невозможности в случае рациональных чисел или последовательных членов геометрической прогрессии

- решение не соответствует ни одному из критериев выше

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#73703

Дана бесконечно возрастающая арифметическая прогрессия. Первые её несколько членов сложили и сумму объявили первым членом новой последовательности, затем сложили следующие несколько членов исходной прогрессии и сумму объявили вторым членом новой последовательности, и так далее. Могла ли новая последовательность оказаться геометрической прогрессией?

Показать ответ и решение

Пример 1

1 n 1 n+1 n 1,2 +3+ 4,5+...+13,...,2(3 + 1)+...+ 2(3 − 1),...= 1,9,81,...,9

Пример 2

3,5+ 7,...,(2n+ 1)+...+ (2n+1 − 1),...=3,12,...,3⋅4n−1,...

Ответ:

Могла

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#88529

Петя сложил $100$ последовательных степеней двойки, начиная с некоторой, а Вася сложил некоторое количество последовательных натуральных чисел, начиная с $1.$ Могли ли они получить один и тот же результат?

Показать ответ и решение

По формуле суммы арифметической прогрессии

n-+1 1+2 +3+ ...+ n= n⋅ 2

По формуле суммы геометрической прогрессии

2k +...+2k+99 =2k⋅(2100− 1)

Эти суммы могут быть равны при

k+1 100 (n+ 1)(n+ 1− 1)= 2 ⋅(2 − 1)

То есть при $n+ 1= 2k+1 =2100$ получим требуемое в условии (взяв $n= 2100 − 1,k= 99).$

Ответ:

Да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#48857

Сколько членов арифметической прогрессии, состоящей из $2009$ чисел, с первым членом $12$ и разностью $3,$ являются также членами бесконечной геометрической прогрессии, первый член и знаменатель которой равны $3?$

Источники: ПВГ-2009 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Начнём с геометрической — в ней лежат числа $3,9,27,81,243,729,2187,6561$ . Поскольку максимальный член арифметической прогрессии равен $12+ 3⋅2008= 6036$ , то $6561$ уже туда не входит. Но числа $27,81,243,729,2187$ будут в ней лежать, поскольку кратны трём и лежат от $12$ до $12 +3⋅2008$ . Легко видеть, что в арифметической прогрессии лежит каждое кратное трём число оттуда.

Ответ:

$5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#88527

Третий, четвёртый, седьмой и последний члены непостоянной арифметической прогрессии образуют геометрическую прогрессию. Найдите число членов этой арифметической прогрессии.

Показать ответ и решение

Пусть $a n$ — $n$ -ый член арифметической прогрессии, $q$ — знаменатель геометрической прогрессии. По условию