Комбинация арифметической и геометрической прогрессий

Подсказка 1

Для начала давайте подумаем над тем, какое ориентировочно может быть n (а если поймем как-то прикидками, какое n, то поймем как его примерно получать). Понятно, что оно какое-то небольшое, иначе непонятно, как приводить пример для n-1, а также не совсем понятно как приходить к противоречию в n. Давайте начнём перебирать с маленьких. 1 точно не подходит, как и 2. Насчет тройки — наверное, вот так сразу же после двух очевидных случаев граница вряд ли будет идти, ведь как минимум, у нас выходит всего одно уравнение на члены (про то, что среднее равно полусумме крайних), а параметра два — a₁ и q. Но в смысле фиксации параметров кажется подходящим n = 4, ведь там два уравнения такого же вида и два параметра. Попробуйте расписать эти уравнения и решить их.

Подсказка 2

После сокращения уравнений на a₁ и (a₁*q)² соответственно мы получим два квадратных уравнения на a₁, а значит можно выписать корни явно (проверьте и то, почему мы вообще можем сокращать). При этом корни должны совпадать. Часто ли такое случается при нашей системе?

Подсказка 3

Нет, очевидными оценками можно получить, что корни никогда не могут совпадать (несколько случаев, которые сводятся либо к оценке, либо к единственному решению при q=1, или a₁=0). Ну тогда нам остается только привести пример при n=3. Как его найти? Можно составить ту систему, о которой говорится в первой подсказке и один из параметров выбрать самостоятельно, а для нахождения второго решить уравнение, но уже с одним параметром.