02 Посложнее

Рассмотрим потребителя-ценополучателя с функцией полезности и доходом . Государство с целью пополнить казну на единиц решает какой налог ввести: потоварный на благо или аккордный (в размере ).

а) Какой налог выгоднее для потребителя – аккордный или потоварный, если – расходы потребителя на остальные товары?

б) Положим и – оптимальные объемы потребления после введения потоварного и аккордного налога соотвественно. Сравните величины и .

Рассмотрим кривую Лоренца , где – доля беднейших жителей страны, – доля в общем доходе страны, которой владеет доля беднейшего населения. Назовем индексом Робин Гуда (или индексом Гувера) величину, показывающую, какая (минимально возможная) доля суммарного дохода должна быть перераспределена, чтобы достичь абсолютно равномерного распределения доходов.

а) Докажите, что этот показатель равен максимальному расстоянию по вертикали между линией абсолютного равенства и кривой Лоренца. Например, для кривой Лоренца индекс Робин Гуда есть максимальное значение величины .

б) Сравните значения индекса Робин Гуда и коэффициента Джини для любых кривых .

Существуют ли функции спроса и такие, что благо являестя субститутом относительно блага , а благо является комплементом относительно блага ? Если ваш ответ "существуют то приведите хотя бы один пример функции полезности, отражающей такие предпочтения, что при решении задачи потребителя получаются действительно функции спроса, удовлетворяющие условию задачи. Если же ваш ответ "не существуют строго докажите это.

Рассмотрим двухфакторную модель, характеризующуюся производственной функцией . При ценах на факторы производства зависимость покупаемого на рынке труда (фактора ) от уровня общих издержек представлена на графике:

Постройте график в координатах , отражающий какой объем капитала закупит фирма при различных уровнях общих издержек, если .

Примечание: не забудьте отметить ключевые точки на полученном графике и обосновать поведение (выпуклость/вогнутость, возрастание/убывание, поведение в ключевых точках) функции .

В стране Р. продаются и потребляются только два товара: гречка() и молоко(). В стране с недавних пор была введена система продуктовых талонов, согласно которой -ому жителю были выданы талонов, которые можно потратить на покупку гречки и молока. Так, для того чтобы купить 1 кг. гречки, нужно заплатить 10 ден. ед. и 2 талона, а для того, чтобы купить 1 кг. молока нужно заплатить 20 ден. ед. и 1 талон. Положим, что -ый потребитель имеет доход в размере 100 ден. ед. и талонов.

а) Если в данной стране живут 100 потребителей с идентичными предпочтениями, описываемые функцией полезности , определите оптимальные объемы потребляемых благ в условиях отсутствия свободной торговли талонами.

б) Допустим торговля талонами была разрешена и на рынке талонов установилось конкурентное равновесие, определите какое количество талонов было выпущено?

В конкурентной отрасли работают фирм, из которых производят товар с низкими издержками , а остальные фирмы – с высокими издержками . Рассмотрите политику государственного вмешательства, которая состоит в помощи низкоэффективным фирмам через введение натурального налога (то есть такого налога, который взимается в виде товара)) по ставке на высокоэффективные фирмы и безвозмездной поставке изъятого объема на низкоэффективные фирмы.

Определите знак оказываемого на благосостояние потребителей эффекта от введения такой политики.

Примечание: благосостояние будем оценивать с помощью величины потребительского излишка ().

Рассмотрим два рынка, спрос и предложения на которых описываются функциями:

а) (0 баллов) Положим, что на двух рынках установилось равновесие, определите его параметры.

б) (9 баллов) Государство в целях обеспечения административного аппарата необходимыми товарами ввело натуральный налог по ставке на каждом из рынков как на потребителя, так и производителя. Определите новые параметры рыночного равновесия.

Примечание: Именно такая разбаловка была на пробном заключительном этапе Школково.

Рассмотрим мир, состоящий из двух стран ( и ), в каждой из которых трудятся 100 рабочих. Каждый рабочий первой страны может произвести 1 икс или 2 игрека (или любую выпуклую комбинацию этих точек), рабочий же второй страны - 2 икса или 1 игрек (или любую выпуклую комбинацию этих точек). Известно, что если трудовые единицы работают в команде (то есть одновременно производят один вид продукции), то производительность каждого из них увеличивается в раз.

В 2022 году население каждой страны в условиях свободного обмена и отсутствии миграции потребляло комплекты из 1 единицы икса и 2 единиц игрека.

В 2023 году предпочтения населения изменились, в новом году жители потребляют комплекты из 1 единицы икса и 0.5 единиц игрека, благодаря чему суммарное потребление комплектов увеличилось на по сравнению с 2022 годом.

Определите значение .

Однажды жителям одного домика в Простоквашино понадобилась корова, на покупку которой денег увы у его жителей не было. В доме жил кот, у которого родилась гениальная идея выпустить облигацию под названием «Матроскин». По ней он будет, начиная со следующего года, выплачивать держателю облигации рублей с постоянным увеличением размера выплат. Таким образом, через два года Матроскину нужно будет выплатить рублей, через три – руб. и тд. Вскоре облигация была куплена родителями дяди Федора и покупка коровы свершилась. Мама Федора, работающая в финансовой сфере, отлично разбирается в ценных бумагах и определила, что покупка данной бумаги по цене руб. эквивалента другой альтернативе использования средств (т.е. ).

Ставка дисконтирования составляет годовых.

Вы не знаете сколько лет Матроскин будет осуществлять выплаты (кот даже может написать, что облигация бессрочная, а значит и выплаты вы будете получать в бесконечной перспективе), однако, имея условия выше, все же можно определить эту характеристику ценной бумаги. Сделайте это.

Однажды Мистер Б. задумался о своей фигуре и решил привести себя в форму перед летом в спортивном зале. Его предпочтения описываются функцией полезности , где – количество посещений спортзала в месяц, – расходы на остальные блага.

В спортзале действуют два тарифа, так, можно купить:

(1) разовое посещение стоимостью руб с оплатой занятий на месяц вперед;

(2) месячный абонемент стоимостью , и посещать зал с дисконтом, то есть по цене , руб. за посещение.

а) Определите при различных значениях цены , дисконта и ежемесячного дохода () тариф, который выберет мистер Б.

б) Наш герой не осознавал всей утомительности занятий в зале, поэтому предпочтения потребителя изменились через месяц после начала занятий, они составили . Иначе говоря, на момент принятия решения о покупке абонемента индивид руководствовался функцией полезности , но вскоре понял, что настоящая функция полезности описывается иначе.

Назовем величину – максимальную сумму, которую готов пожертвовать индивид, чтобы узнать настоящую функцию полезности сразу, на момент принятия решения о количестве .

Определите величину при , , .

Страна Альфа производит икс и игрек по технологиям:

Общие запасы труда и капитала составляют , .

а) Выведите аналитически и постройте КПВ Альфа в координатах .

б) Что вы можете сказать о поведении альтернативной стомости по мере увеличения производства ?

Рассмотрим производственную функцию , для любых , . Докажите или опровергните: «Если функция предельного продукта монотонно убывает для любых , то и функция среднего продукта убывает для любых »