.07 Распределения. Функция распределения. Плотность вероятности. Мат. ож. и дисперсия в непрерывном случае. Квантили.

a) По графику функции распределения видно, что и , то есть наша случайная величина действительно принимает с ненулевой вероятностью значения только в отрезке .

Более того, она принимает эти значения там равномерно в том смысле, что вероятность попасть в подотрезок отрезка длины равна .

Это и оправдывает её название.

Действительно,

b) Можно провести некоторую аналогию между этой случайной величиной и дискретно распределенной случайной величиной , определенной на конечном классическом вероятностном пространстве .

То есть таком , что

Действительно, ведь в таком случае выполняется некоторое аналогичное свойство

То есть мы делим количество интересующих нас исходов на количество всех исходов. А в случае непрерывного равномерного распределения на отрезке мы делим длину отрезка, в который хотим попасть на длину всего отрезка ;

c) Если бы у существовала плотность, то она была бы производной её функции распределения.

С одной стороны, конечно, видно, что в точках и её функция распределения недифференцируема.

Но дело в том, что эти точки не играют никакой роли. Потому что для равномерной случайной величины вероятность попасть в конкретную точку (в данном случае в точки 0 и 2) равна 0.

Так что, если на эти две плохие точки забить, то у функции распределения будет существовать то, что называют почти-всюду производная. И, соответственно, у нашей будет существовать почти-всюду плотность.

Таким образом, наша случайная величина имеет (почти всюду) плотность, равную константе. Это тоже отражает её равномерность;

d) Ясно, что эта вероятность равна разности между значениями функции распределения в соответствующих точках. Но посчитаем для разнообразия через плотность: