.07 Распределения. Функция распределения. Плотность вероятности. Мат. ож. и дисперсия в непрерывном случае. Квантили.

Напомним, что плотность экспоненциального распределения с параметром задаётся как

Будем считать с произвольным , а потом просто подставим .

1. Вычислим мат. ожидание.

Найдем первообразную функции при помощи интегрирования по частям: , . Тогда . Тогда, как мы помним,

Получаем

Таким образом,

При получаем .

2. Вычислим дисперсию.
Поскольку , то для вычисления дисперсии нам вначале нужно будет вычислить ожидание квадрата .

Итак,

Найдем первообразную функции при помощи интегрирования по частям: , . Тогда . Тогда, как мы помним,

Следовательно,

Но когда мы считали мат. ожидание, мы уже выяснили, что

Следовательно,

Таким образом,

Следовательно,

Тогда получается, что . При получаем .