Тема Задачи №13 из ЕГЭ прошлых лет

№13 из ЕГЭ 2024

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#90988Максимум баллов за задание: 2

a) Решите уравнение $3tg2x− -5--+ 1= 0. cosx$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 7π ] − 2-;−2π .$

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Дальний восток

Показать ответ и решение

а)

2 -5-- 3 tg x − cosx + 1= 0 3sin2x 5 -cos2x-− cosx + 1 =0 ( 2 ) 3-1−-cos-x-− 5cosx+ cos2x = 0 cos2 x cos2x cos2x 3-− 3-cos2x−-5cosx+-cos2x cos2x = 0 2cos2x + 5cosx − 3 -----cos2x------= 0 (2cosx-−-1)(2cosx-+-3)= 0 ( ⌊cos x || 2cosx= 1 { ⌈ ||( cosx= − 3 cosx⁄= 0 1 cosx = 2 π- x= ± 3 + 2πk, k ∈ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] 7π − 2 ;−2π ,$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$−−−27ππ7π- 23$

Следовательно, на отрезке $[ ] − 7π;−2π 2$ лежит точка $− 7π. 3$

Ответ:

а) $± π+ 2πk, k ∈ℤ 3$

б) $− 7π 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#90989Максимум баллов за задание: 2

a) Решите уравнение $7tg2x− -1--+ 1= 0. cosx$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 5π ] − 2-;−π .$

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Дальний восток

Показать ответ и решение

а)

2 -1-- 7 tg x − cosx + 1= 0 7sin2x 1 -cos2x-− cosx + 1 =0 ( 2 ) 7-1-− cos-x-−-cosx-+ cos2x= 0 cos2x cos2x cos2x 7−-7cos2x−-cosx-+-cos2x- cos2x = 0 6cos2x+ cosx− 7 -----cos2x----- =0 (cosx-− 1)(62cosx-+-7)= 0 cos x

( ⌊cosx= 1 ||{ ⌈ | cosx= − 7 |( cosx ⁄= 0 6 cosx = 1 x = 2πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] 5π − 2 ;−π ,$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$− 5π −−2π2π-$

Следовательно, на отрезке $[ ] − 5π;−π 2$ лежит точка $− 2π.$

Ответ:

а) $2πk$ , $k ∈ ℤ$

б) $− 2π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#90990Максимум баллов за задание: 2

a) Решите уравнение $5tg2x+ -3--+ 3= 0. cosx$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[5π ] -2 ;4π .$

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Дальний восток

Показать ответ и решение

а)

2 -3-- 5 tg x + cosx + 3= 0 5sin2x 3 -cos2x-+ cosx + 3 =0 ( 2 ) 5-1−-cos-x-+ 3-cosx + 3cos2-x= 0 cos2x cos2x cos2x

2 2 5−-5cos-x+-3c2osx-+-3cos-x-= 0 cos x 2cos2x-−-3cosx-− 5-= 0 cos2x (2cosx-−-5)(cosx-+-1) cos2x = 0 (| ⌊ |{ ⌈cosx= 2,5 | cosx= − 1 |( cosx⁄= 0 cosx= −1 x= π +2πk, k ∈ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] 5π;4π , 2$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$354πππ 2$

Следовательно, на отрезке $[ ] 5π;4π 2$ лежит точка $3π.$

Ответ:

а) $π + 2πk,k ∈ℤ$

б) $3π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#90991Максимум баллов за задание: 2

a) Решите уравнение $2tg2x+ -5--+ 4= 0. cosx$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 9π] 3π;-2 .$

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Центр

Показать ответ и решение

а)

2 -5-- 2 tg x + cosx + 4= 0 2sin2x 5 -cos2x-+ cosx + 4 =0 ( 2 ) 2-1−-cos-x-+ 5-cosx + 4cos2-x= 0 cos2x cos2x cos2x 2−-2cos2-x+-5cosx-+-4cos2x- cos2x = 0 2cos2x + 5cosx +2 -----cos2x------= 0 2(cosx+-2)(c2osx+-0.5)= 0 (⌊ cos x || cosx =− 2 {⌈ ||( cosx =− 0,5 cosx⁄= 0 cosx= − 0,5 x = ±2π + 2πk, k ∈ ℤ 3

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ 9π] 3π; 2 ,$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$1930πππ 32$

Следовательно, на отрезке $[ 9π] 3π; 2$ лежит точка $10π 3 .$

Ответ:

а) $± 2π+ 2πk, k ∈ℤ 3$

б) $10π 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#91265Максимум баллов за задание: 2

a) Решите уравнение $( ) √ -------- 1+ log3 x4+ 25 = log√3 30x2+ 12.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− 2,2;3,2].$

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день

Показать ответ и решение

а) Заметим, что уравнение имеет смысл при любом $x,$ так как $x4+25 > 0$ и $30x2+ 12> 0.$ Тогда имеем:

1 +log (x4 +25)= log√-∘30x2-+12- 3( ) (3( ) ) 1 + log3 x4+ 25 = log3 10x2+ 4 ⋅3 log 3+ log (x4+ 25)= log (10x2+ 4)+ log 3 3 3( 4 ) 3( 2 ) 3 log3 x + 25 = log3 10x + 4

Так как $x4+ 25$ и $10x2+ 4$ больше 0 при любом значении $x,$ то можем перейти к равенству аргументов:

4 2 x + 25= 10x + 4 x4− 10x2+21 = 0 ( 2 )( 2 ) x − 3[ x − 7 =0 x2 = 3 x2 = 7 [ √- x= ± √3 x= ± 7

б) Возведем в квадрат числа 2,2 и 3,2:

$pict$

Тогда

3 <4,84< 7< 10,24

Значит,

√3 < 2,2< √7-< 3,2

Следовательно,

− √7< − 2,2< − √3 <√3 < √7-< 3,2

Тогда требуемому промежутку принадлежат числа $√- − 3;$ $√ - 3;$ $√- 7.$

Ответ:

а) $√- √- √ - √ - − 7; − 3; 3; 7$

б) $√ - √- √- − 3; 3; 7$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#91266Максимум баллов за задание: 2

a) Решите уравнение $( ) √------ log2 4x4+ 56 = 2+ log√2 7x2+ 2.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− 1,7;1,8].$

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день

Показать ответ и решение

а) Заметим, что уравнение имеет смысл при любом $x,$ так как $4x4 +56 >0$ и $7x2+ 2> 0.$ Тогда имеем

log (4x4+ 56) = 2+ log√-∘7x2-+-2 2 ( ) 2 log2 4x4+ 56 = 2+ log2(7x2+ 2) log (4x4+ 56)= log 4+ log(7x2+ 2) 2 ( 4 ) 2 22 log2 4x + 56 = log2(28x + 8)

Так как $4x4+ 56$ и $28x2+ 8$ больше 0 при любом значении $x,$ можем перейти к равенству аргументов:

4 2 4x + 56= 28x + 8 4x4− 28x2+ 48= 0 4 2 (x − 7x)(+ 12=) 0 x2− 3 x2− 4 =0 [ 2 x2= 3 [ x = 4 x= ± √3 x= ±2

б) Возведем в квадрат числа 1,7 и 1,8:

$pict$

Тогда

2,89< 3< 3,24< 4

Значит,

1,7 <√3-< 1,8 < 2

Следовательно,

−2< − √3 <− 1,7 <√3-< 1,8 < 2

Тогда требуемому промежутку принадлежит число $√ - 3.$

Ответ:

а) $√ - √- − 2; − 3; 3; 2$

б) $√ - 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#91267Максимум баллов за задание: 2

a) Решите уравнение $3tg2x− -5--+ 5= 0. cosx$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 3π] − 3π;− 2- .$

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Центр

Показать ответ и решение

а)

2 -5-- 3 tg x − cosx + 5= 0 3sin2x 5 -cos2x-− cosx + 5 =0 ( 2 ) 3-1−-cos-x-− 5-cosx + 5cos2-x= 0 cos2x cos2x cos2x 3−-3cos2-x−-5cosx-+-5cos2x- cos2x = 0 2cos2x − 5cosx +3 -----cos2x------= 0 (cosx-− 1)(22cosx-−-3)= 0 ([cos x |{ cosx= 1 | 2cosx= 3 (cosx⁄= 0 cosx = 1 x = 2πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] −3π;− 3π , 2$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$3π −−−322ππ$

Следовательно, на отрезке $[ ] − 3π;− 3π 2$ лежит точка $− 2π.$

Ответ:

а) $2πk,$ $k ∈ ℤ$

б) $− 2π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#91727Максимум баллов за задание: 2

a) Решите уравнение $√ - 2sin2x − 3cos(x− π)− 2= 0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 4π;− 5π . 2$

Источники: ЕГЭ 2024, пересдача, Дальний Восток

Показать ответ и решение

а)

2sin2x − √3cos(x − π) − 2 = 0 ( 2 ) √ - 2 1− cos x +√ -3cosx − 2= 0 2 − 2cos2x + 3cosx− 2= 0 2cos2x − √3-cosx= 0 ( √-) cosx 2cosx− 3 = 0 ⌊ |cosx= 0√ - ⌈cosx= --3 ⌊ 2 x = π+ πk, k ∈ℤ |⌈ 2π x = ±6-+ 2πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] −4π;− 5π , 2$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$5π7π23π- −−−−4π226$

Следовательно, на отрезке $[ ] 5π − 4π;− 2$ лежат точки $23π − 6 ;$ $7π − 2 ;$ $− 5π. 2$

Ответ:

а) $π+ πk; 2$ $± π+ 2πk, 6$ $k ∈ℤ$

б) $− 23π ; 6$ $− 7π; 2$ $− 5π 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#91728Максимум баллов за задание: 2

a) Решите уравнение $√ - 2sin2x + 2cos(x+ π)− 2= 0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 5π;−π . 2$

Источники: ЕГЭ 2024, пересдача, Центр

Показать ответ и решение

а)

2sin2x + √2cos(x +π) − 2 = 0 ( 2 ) √ - 2 1− cos x −√ -2cosx − 2= 0 2 − 2cos2x − 2cosx− 2= 0 2cos2x +√2-cosx= 0 ( √-) cosx 2cosx+ 2 = 0 ⌊ |cosx =0 √- ⌈cosx =− -2- ⌊ 2 x= π-+ πk, k ∈ ℤ |⌈ 2 3π x= ± 4-+ 2πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] − 5π;−π , 2$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$5π3π5π −−−−π224-$

Следовательно, на отрезке $[ ] 5π − 2 ;−π$ лежат точки $5π − 2 ;$ $3π − 2 ;$ $− 5π. 4$

Ответ:

а) $π+ πk; 2$ $± 3π+ 2πk, 4$ $k ∈ℤ$

б) $− 5π ; 2$ $− 3π; 2$ $− 5π 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#91729Максимум баллов за задание: 2

a) Решите уравнение $2sin2x +3 cos(x− π)− 3= 0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 3π; 9π . 2$

Источники: ЕГЭ 2024, пересдача, Центр

Показать ответ и решение

а)

2sin2x+ 3cos(x − π)− 3= 0 ( 2 ) 2 1 − cos x − 3cosx− 3= 0 2− 2cos2x− 3cosx− 3= 0 2cos2x + 3cosx +1 = 0 (2 cosx +1)(cosx+ 1)= 0 ⌊ cosx= − 1 ⌈cosx= − 1 ⌊ 2 x= π +2πk, k ∈ℤ |⌈ 2π x= ± 3-+ 2πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] 3π; 9π , 2$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$791ππ0π 3π223-$

Следовательно, на отрезке $[ ] 3π; 9π 2$ лежат точки $3π;$ $10π . 3$

Ответ:

а) $π + 2πk;$ $± 2π + 2πk, 3$ $k ∈ ℤ$

б) $3π;$ $10π -3-$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#91730Максимум баллов за задание: 2

a) Решите уравнение $2sin2x − cos(x − π)− 1 = 0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 3π ;3π . 2$

Источники: ЕГЭ 2024, пересдача, Центр

Показать ответ и решение

а)

2sin2x− cos(x− π)− 1= 0 ( 2 ) 2 1− cosx +cosx− 1 =0 2− 2cos2x + cosx − 1 = 0 2cos2x− cosx− 1= 0 (2 cosx +1)(cosx− 1)= 0 ⌊ cosx= 1 ⌈cosx= − 1 ⌊ 2 x= 2πk, k ∈ℤ |⌈ 2π x= ± 3-+ 2πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] 3π;3π , 2$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$38ππ 32π2π3$

Следовательно, на отрезке $[ ] 3π-;3π 2$ лежат точки $2π;$ $8π . 3$

Ответ:

а) $2πk;$ $± 2π +2πk, 3$ $k ∈ ℤ$

б) $2π;$ $8π 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#91731Максимум баллов за задание: 2

a) Решите уравнение $√- 2cos2x + 2sin(x+ π)− 2= 0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 3π ;3π . 2$

Источники: ЕГЭ 2024, пересдача, Центр

Показать ответ и решение

а)

2cos2 x+ √2sin(x +π) − 2 = 0 ( 2 ) √ - 2 1− sin x −√ -2sinx − 2 = 0 2− 2sin2x − 2sinx − 2= 0 2sin2x +√2-sinx = 0 ( √-) sin x 2sinx + 2 =0 ⌊ | sinx= 0 √- ⌈ sinx= − -2- ⌊ 2 x = πk, k ∈ ℤ |⌈ π π x = −2-± 4-+2πk, k ∈ ℤ

$3237ππππ 24$

Следовательно, на отрезке $[ 3π ] 2-;3π$ лежат точки $7π -4 ;$ $2π;$ $3π.$

Ответ:

а) $πk;$ $− π-± π+ 2πk, 2 4$ $k ∈ℤ$

б) $7π; 4$ $2π;$ $3π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#91732Максимум баллов за задание: 2

a) Решите уравнение $√- 2cos2x − 3sin(x− π)− 2= 0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 3π;− 3π . 2$

Источники: ЕГЭ 2024, пересдача, Центр

Показать ответ и решение

а)

2cos2 x− √3sin(x − π) − 2 = 0 ( 2 ) √ - 2 1− sin x +√ -3sinx − 2 = 0 2− 2sin2x + 3sinx − 2= 0 2sin2x − √3-sinx = 0 ( √-) sin x 2sinx − 3 =0 ⌊ |sin x= 0√ - ⌈sin x= --3 ⌊ 2 x = πk, k ∈ ℤ ||x = π-+2πk, k ∈ ℤ ||⌈ 3 x = 2π +2πk, k ∈ℤ 3

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ 3π] −3π;− 2 ,$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$−−−−32 3 5ππππ 23$

Следовательно, на отрезке $[ ] 3π- 2 ;3π$ лежат точки $− 3π;$ $− 2π;$ $5π − 3 .$

Ответ:

а) $πk;$ $π-+2πk; 3$ $2π+ 2πk, 3$ $k ∈ℤ$

б) $− 3π;$ $− 2π;$ $− 5π 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2