№15 из ЕГЭ 2024 - Каталог заданий по ЕГЭ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#91736Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

2 ⋅32x+1− 7⋅6x +2 ⋅4x ---3-⋅9x-− 3x-⋅2-x+1-- − 1≤ 0.

Источники: ЕГЭ 2024, пересдача, Дальний Восток

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное неравенство:

2⋅32x+1 − 7 ⋅6x + 2⋅4x ---3⋅9x−-3x⋅2x+1---− 1≤ 0 2x x x 2x 2x x x 6⋅3--−-7⋅3-⋅2-+-2⋅2--−-3⋅3--+-2⋅3--⋅2--≤ 0 3⋅32x− 2⋅3x⋅2x 3⋅32x−-5⋅3x⋅2x+-2⋅22x- 3⋅32x− 2⋅3x⋅2x ≤ 0

Разделим числитель и знаменатель получившейся слева дроби на $2x 2 > 0:$

2x x 3-⋅ 322x-−-5⋅ 32x +-2 3⋅ 3222xx − 2⋅ 32xx ≤ 0

Сделаем замену $( )x t = 3 > 0. 2$ Тогда получим неравенство

3t2− 5t+ 2 --3t2−-2t--≤ 0 (t−-1)(3t− 2) ≤ 0 t(3t − 2)

Решим полученное неравенство методом интервалов при $t> 0:$

$2 t031−−+$

Тогда решением неравенства будет система

( (|( 3)x (|| (3)x (3)0 {0 < t≤1 |{ 2 ≤ 1 |{ 2 ≤ 2 {x ≤ 0 ( 2 ⇔ |( 3)x 2 ⇔ | (3)x (3) −1 ⇔ x ⁄= −1 t⁄= 3 |( 2 ⁄= 3 ||( 2 ⁄= 2

Таким образом, $x ∈(− ∞;−1)∪ (−1;0].$

Ответ:

$(−∞; −1)∪ (− 1;0]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#91737Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

2 ⋅52x − 3 ⋅5x ⋅2x+1 + 4x+1 --------10x-− 22x------ ≤ 1.

Источники: ЕГЭ 2024, пересдача, Центр

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное неравенство:

2⋅52x− 3⋅5x⋅2x+1+ 4x+1 -------10x−-22x--------≤ 1 2x x x 2x 2⋅5--−-6⋅5-⋅2-+-4⋅2---≤ 1 5x⋅2x− 22x

Разделим числитель и знаменатель получившейся слева дроби на $22x > 0:$

52x- 5x- 2-⋅22x −5x6⋅-2x-+-4≤ 1. 2x − 1

Сделаем замену $( 5)x t = 2 > 0.$ Тогда получим неравенство

2t2−-6t+-4-≤ 1 t− 1 2t2− 6t+ 4 --t−-1---− 1≤ 0 2 2t-−-7t+-5-≤ 0 t− 1 (2t− 5)(t− 1) ≤ 0 t− 1

Решим полученное неравенство методом интервалов при $t> 0:$

$t015−−+ 2$

Тогда решением неравенства будет система

(( ) ( 5 || 5 x ≤ 5 { {0< t≤ 2 ⇔ {( 2) 2 ⇔ x≤ 1 (t⁄= 1 ||( 5 x ⁄= 1 x⁄= 0 2

Таким образом, получаем

x ∈ (− ∞;0)∪ (0;1].

Ответ:

$(−∞; 0)∪(0;1]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#91739Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

4x+1+ 4x− 4 16x−-9⋅4x+-8 ≥ −1.

Источники: ЕГЭ 2024, пересдача, Центр

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

4x+1 +4x − 4 16x−-9⋅4x+-8 ≥ − 1 x -25x-⋅4-− 4x-- ≥− 1 4 − 9⋅4 + 8

Сделаем замену $t =4x > 0.$ Тогда неравенство примет вид

5t − 4 t2-− 9t+-8-≥− 1 5t− 4 t2−-9t+-8-+ 1≥ 0 (2 ) (5t−-4)+--t−-9t+-8-≥ 0 t2− 9t+ 8 t2− 4t+ 4 t2−-9t+-8 ≥ 0 2 --(t−-2)---≥ 0 (t− 1)(t− 8)

Решим полученное неравенство методом интервалов при $t> 0:$

$t0128+−−+$

Тогда имеем:

t ∈(0;1) ∪{2}∪ (8 +∞ )

Сделаем обратную замену для $t∈ (0;1):$

0< tx< 1 0< 4 <1 0< 4x < 40 x <0

Сделаем обратную замену для $t= 2 :$

t= 2 4x = 2 2x 1 2 = 2 2x = 1 x= 1 2

Сделаем обратную замену для $t∈ (8;+ ∞ ):$

t> 8 4x > 8 22x > 23 2x > 3 x> 3 2

Таким образом, окончательно получим

{ } ( ) x∈ (− ∞;0)∪ 1 ∪ 3;+ ∞ 2 2

Ответ:

${ } ( ) (− ∞;0)∪ 1 ∪ 3;+∞ 2 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#91740Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

9x+1+ 9x+ 54 81x−-28⋅9x+-27 ≥ −1.

Источники: ЕГЭ 2024, пересдача, Центр

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

9x+1+ 9x+ 54 81x−-28⋅9x+-27 ≥ − 1 x -2x10-⋅9-+5x4---≥ − 1 9 − 28⋅9 + 27

Сделаем замену $t =9x > 0.$ Тогда неравенство примет вид

10t +54 t2−-28t+-27 ≥− 1 10t+54 t2−-28t+-27 +1 ≥ 0 (2 ) (10t+-54)+--t−-28t+-27-≥ 0 t2− 28t+ 27 t2− 18t+ 81 t2−-28t+-27 ≥ 0 2 ---(t−-9)--- ≥ 0 (t− 1)(t− 27)

Решим полученное неравенство методом интервалов при $t> 0:$

$t0192+−−+7$

Тогда имеем:

t∈ (0;1)∪ {9} ∪(27+ ∞ )

Сделаем обратную замену для $t∈ (0;1):$

0< tx< 1 0< 9 <1 0< 9x < 90 x <0

Сделаем обратную замену для $t= 9 :$

t= 9 9x = 9 x =1

Сделаем обратную замену для $t∈ (27;+ ∞) :$

t> 27 9x > 27 32x > 33 2x > 3 x> 3 2

Таким образом, окончательно получим

( 3 ) x ∈(− ∞;0)∪ {1} ∪ 2;+∞

Ответ:

$( ) (− ∞;0)∪ {1} ∪ 3;+∞ 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#91741Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

--14- ------48------ 1+ 3x− 9 + 9x− 2⋅3x+2+ 81 ≥ 0.

Источники: ЕГЭ 2024, пересдача, Центр

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное неравенство:

--14- ------48------ 1+ 3x − 9 + 9x− 2⋅3x+2+ 81 ≥ 0 14 48 1 + 3x−-9 + 32x−-18⋅3x+-81 ≥ 0

Сделаем замену $t =3x > 0.$ Тогда неравенство примет вид

14 48 1+ t−-9 + t2−-18t+81 ≥ 0 1+ -14-+ --48-2 ≥ 0 ( t−)9 (t− 9) -t2−-18t+81-+-(14t− 126)+-48 (t− 9)2 ≥ 0 2 t−-4t+23≥ 0 (t− 9) (t−-1)(t−-3)≥ 0 (t− 9)2

Решим полученное неравенство методом интервалов при $t> 0:$

$t0139+−++$

Тогда $t∈ (0;1]∪ [3;9)∪(9;+∞ ).$

Сделаем обратную замену:

(| [ (|[ x (|[ { 0< t≤ 1 { 3x≤ 1 { x ≤ 0 |( t≥ 3 ⇔ |( 3x ≥ 3 ⇔ |( x ≥ 1 t⁄= 9 3 ⁄= 9 x ⁄= 2

Таким образом,

x∈ (−∞;0]∪ [1;2)∪(2;+∞ )

Ответ:

$(−∞; 0]∪[1;2)∪ (2;+ ∞)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#116346Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

--11- -----28----- 1+ 2x− 8 + 4x− 2x+4+ 64 ≥ 0.

Источники: ЕГЭ 2024, пересдача, Центр

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное неравенство:

-11-- -----28----- 1 + 2x − 8 + 4x− 2x+4+ 64 ≥ 0 11 28 1 + 2x−-8 + 22x−-16⋅2x+-64 ≥ 0

Сделаем замену $t =2x > 0.$ Тогда неравенство примет вид

11 28 1+ t−-8 + t2−-16t+64 ≥ 0 1+ -11-+ --28-2 ≥ 0 ( t− 8) (t− 8) -t2-− 16t+-64-+-(11t−-88)+28 (t− 8)2 ≥ 0 2 t−-5t+24≥ 0 (t− 8) (t−-1)(t−-4)≥ 0 (t− 8)2

Решим полученное неравенство методом интервалов при $t> 0:$

$t0148+−++$

Тогда $t∈ (0;1]∪ [4;8)∪(8;+∞ ).$

Сделаем обратную замену:

(| [ (|[ x (|[ { 0< t≤ 1 { 2x≤ 1 { x ≤ 0 |( t≥ 4 ⇔ |( 2x ≥ 4 ⇔ |( x ≥ 2 t⁄= 8 2 ⁄= 8 x ⁄= 3

Таким образом,

x∈ (−∞;0]∪ [2;3)∪(3;+∞ )

Ответ:

$(−∞; 0]∪[2;3)∪ (3;+ ∞)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».